Ленинизм и теоретические проблемы языкознания - Федот Петрович Филин

логико-гносеологической проблематики… Средством реализации системно-структурною подхода к познаваемым объектам и адекватным „языком“ для выражения их структур явились математические понятия и методы… В центре внимания современной математики находятся преобразования и исчисления любых отношений, в том числе количественных и качественных (см.: Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. Перев. с франц. М., 1963, стр. 31, 245 – 259). А понятие отношения составляет существо понятий „структура“ и „организация“, необходимых для изучения системных объектов. Математическими понятиями, с помощью которых выражаются понятия „система“, „организация“ и „структура“, являются: „множество“, „порядок“ или „упорядоченность“, „функция“, „математическое отображение“ и „преобразование“, „алгоритм“»[298].

Проблемам структуры различных форм материи посвящен ряд исследований[299]. Однако до настоящего времени в науке нет точного, общепринятого определения понятий системы и структуры. Сформулируем определение структуры, которое нам кажется наиболее целесообразным, так как оно максимально приближается к понятию структуры в математике, а поэтому представляется наиболее удобным и эффективным при использовании математических методов в научном познании.

Структура – это характер, закон связи между составными частями сложного объекта, в отвлечении от «природы» этих составных частей.

Упомянутые составные части сложного объекта являются его элементами. Интерпретация или модель структуры образует систему.

Структура может быть совокупной (интегральной) и более или менее частной. Соответственно ее интерпретация представляет собой общую систему или частную подсистему.

Рассматривая структуру как «инвариантный аспект системы»[300], мы, во-первых, отождествляем ее с системой, во-вторых, как бы исключаем из нее элемент движения, изменения, закрепив за ней определение «инвариантный».

Сравним данное выше определение структуры сложного объекта с определением структуры в математике.

«Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием (структуры. – Т.Д.), является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его (или их. – Т.Д.) элементы; затем постулируют, что данное отношение, или данные отношения, удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются „аксиомами“ рассматриваемой структуры). Построить аксиоматическую теорию данной структуры – это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их „природы“»)[301].

Аналогия между данным нами определением структуры и определением структуры в математике очевидна.

Определение структуры языка как закона связи его элементов восходит к Ф. де Соссюру[302], рассматривавшему язык как «систему отношений», и Л. Ельмслеву[303]. Специально проблемами структуры языка занимается ветвь языкознания – структурная лингвистика[304].

Такие математические методы, как аксиоматический, метод моделирования, метод формализации, методы теории множеств и теории функций в структурной лингвистике имеют довольно широкое применение.

Посмотрим, каково же, вообще, многообразие математических методов, являющихся средствами реализации системно-структурного подхода к познаваемым объектам?

При современном уровне развития математики как целой «иерархии» математических дисциплин количество математических методов слишком велико (около 30), чтобы дать краткое описание каждого из них. Поэтому здесь мы приведем лишь приблизительный перечень[305] этих методов со ссылкой (где это необходимо) на соответствующую литературу:

1) метод операций с числами действительными (натуральными, рациональными, иррациональными), мнимыми, комплексными, трансфинитивными и др.;

2) метод операций с объектами, названными человеком точками, линиями, поверхностями, фигурами, схемами;

3) методы математического анализа (I)[306]:

· а) метод пределов (I),

· б) метод дифференцирования (I),

· в) метод интегрирования (I);

4) метод формализации:

· а) методы алгебры (I),

· б) методы аналитической геометрии (I);

5) метод математической индукции (I);

6) метод дифференциальных уравнений (II);

7) методы теории вероятностей (II);

8) статистические методы (II);

9) методы последовательных приближений (II);

10) методы вариационного исчисления (II);

11) методы теории функций действительного переменного (III);

12) методы теории функций комплексного переменного (III);

13) методы теории множеств (III);

14) методы функционального анализа (III);

15) методы топологии (III);

16) метод аксиоматический (III)[307];

17) методы теории абстрактных групп (III);

18) метод моделирования (III);

19) методы математической логики (III);

20) методы основных разделов «высшей», теоретической кибернетики[308]:

· а) методы теории информации[309],

· б) методы теории программирования,

· в) методы теории автоматов,

· г) методы теории игр[310].

3

Аксиоматический метод – это такой способ построения теории, при котором в основу теории кладутся некоторые ее исходные положения (аксиомы или постулаты), а все остальные ее положения (теоремы) выводятся из исходных путем рассуждений, называемых доказательствами. Правила, по которым должны проводиться эти рассуждения, изучаются в логике; все понятия, с которыми имеют дело в доказательствах (кроме небольшого числа неопределяемых первоначальных понятий), вводятся на основе определений, разъясняющих их смысл через ранее введенные или известные понятия.

Науки, которые строятся на основе аксиоматического метода, принято называть дедуктивными; к последним относятся, например, математика, некоторые разделы логики и физики (в частности, механика).

В истории развития аксиоматического метода можно выделить три стадии[311].

Современная, третья, стадия развития аксиоматического метода началась с появления теории математических доказательств Гильберта (1900 – 1904). Ее основные понятия тесно связаны с математической логикой. С помощью своей теории Гильберт стремился прежде всего доказать непротиворечивость таких аксиоматических теорий, лежащих в основе математики, как арифметика и теория множеств. Спорные вопросы этих теорий связаны с понятием бесконечности. Идея Гильберта сводилась к тому, чтобы свести математические теории к чисто формальным операциям над символами согласно предписанным правилам, что приводило к чистейшему формализму в математике. Эта идея не получила дальнейшего развития: австрийский математик Гёдель в своей знаменитой теореме о неполноте доказал, что даже арифметику нельзя формализовать полностью, как на то рассчитывал Гильберт. Таким образом, было обнаружено существование неразрешимых проблем в формальных теориях. Это свидетельствовало об определенном ограничении «могущества» аксиоматического метода и о необходимости дополнять его другими путями установления математических истин, а также истин тех наук, в которых аксиоматический метод играет определенную роль. В этом направлении особое значение имела интуиционистская математика, средствами которой было получено доказательство непротиворечивости классической арифметики. С появлением в 30-х годах XX в. строгого определения алгоритма возникло конструктивное направление в математике, которое также дополняет аксиоматический метод.

История развития аксиоматического метода является блестящим подтверждением положений марксистско-ленинской диалектики, марксистско-ленинской теории познания. Ни один метод познания (в том числе и аксиоматический) не является универсальным, законченным в своем развитии. Аксиоматический метод имеет границы применимости даже в математике и не может заменить эксперимент или метод наблюдения. Однако эти обстоятельства не умаляют его достоинства. Не случайно у Н. Бурбаки мы читаем:

«Единство, которое он (аксиоматический метод. – Т.Д.) доставляет математике, это не каркас формальной логики, не единство, которое дает скелет, лишенный жизни. Это – питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования, который сознательно используют в своей работе, начиная с Гаусса, все великие мыслители-математики, все те, кто, следуя формуле