Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а·а, b·b и с·с, где с=а+b. Сумма квадратов (ax+bx)2+(ay+by)2+(az+bz)2 —ин­вариант:

(аx+bx)2+(аy+by)2+(аz+bг)2= (аx'+bx')2 + (ay'+bу')2+(az,+bz')2. (11.20) Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрест­ные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и b — выражения (11.18). Инва­риантность слагаемых типа (11.18) приводит к инвариантности перекрестных произведений типа (11.19).

Величина а·b называется скалярным произведением двух векторов а и b и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что

а· (b+c)=а·b+а·с. (11.21)

Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а·b, при котором не надо определять составляющих а и b; просто а·b есть произведение длин векторов а и b на ко­синус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую ах, которая равна длине вектора а. Таким обра­зом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к a·b=axbx, что равно произведению длины вектора а на составляющую векто­ра b по направлению а, которая в свою очередь равна bcosq, т. е.

а·b=abcosq.

Таким образом, в этой частной системе координат мы дока­зали, что a·b равно произведению длин векторов а и b на коси­нус угла между ними 9. Но если это верно в одной системе коор­динат, то это верно и во всех системах, потому что а·b не зависит от выбора системы координат.

Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно ли физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, в гл. 4 мы назвали кинетической энер­гией величину 1/2mv2, но если частица движется в простран­стве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие ско­рости х, у и z, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде

к.э.=1/2m(v·v)=1/2m(v2x+ v2y+v2z). (11.22)

Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на вектор ско­рости.

Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила F поработает вдоль пути s:

Работа=F·s. (11.23)

Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль опре­деленного направления (например, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести еди­ничный вектор вдоль интересующего нас направления. Под еди­ничным вектором мы будем понимать вектор, скалярное про­изведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор i; тогда i·i=l. Скалярное произведение i·a равно acosq, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направле­ния i. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.

Предположим, что нам задана какая-то система координат х, у и z. Введем три вектора: i — единичный вектор вдоль оси х,

j — единичный вектор вдоль оси y и к — единичный вектор вдоль оси z. Ясно, что i·i=l. Чему же равно произведение i·j? Если угол между векторами прямой, то их скалярное произве­дение равно нулю. Таким образом,

i·i=1,

i·j = 0, j·j=1, (11.24) i·k=0, j·k=0, k·k=l.

Используя эти свойства векторов i, j, k, можно записать любой вектор а в виде

a=ax·i + ay·j+ az·k. (11.25)

Таким образом, можно от составляющих вектора легко перейти к самому вектору.

Мы изучили далеко не все свойства векторов. Однако, прежде чем углубиться в этот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться даль­ше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно опре­делить еще одно произведение двух векторов, которое назы­вается векторным произведением и записывается в виде аXb. Однако обсуждение этого вопроса лучше отложить до следующей главы.

* В книгах вектор обозначается полужирной буквой; в рукописях же используется стрелка:

Глава 12

ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛЫ

§ 1. Что есть сила?

§ 2. Трение

§ 3, Молекулярные силы

§ 4, Фундаменталь­ные силы. Поля

§ 5. Псевдосилы

§ 6. Ядерные силы

§ 1, Что есть сила?

Хотя изучение законов физики интересно и поучительно, хотя они и помогают нам по­нимать природу и овладевать ее силами, все же порой стоит остановиться и поразмыслить: что же они на самом деле значат? Смысл любого утверждения — вещь, которая издавна, с неза­памятных времен, интересовала и тревожила философов, а уж смысл физических законов тем более должен волновать нас, ведь повсе­местно считается, что в этих законах таятся некоторые реальные знания. Смысл исти­ны — это глубочайший философский вопрос; всегда важно вовремя спросить: что это зна­чит?

Спросим же: в чем смысл физических законов Ньютона, в чем смысл формулы F=ma? В чем смысл силы, массы и ускорения? Мы интуитивно понимаем, что такое масса; мы можем также определить ускорение, если нам понятно, что такое место и что такое время. Смысл этих по­нятий мы поэтому не будем обсуждать, а сосредоточимся на новом понятии силы. И здесь ответ тоже весьма прост: если тело уско­ряется, значит на него действует сила. Так говорят законы Ньютона, и самое точное и красивое из мыслимых определений силы со­стояло бы в том, что сила есть масса тела, умноженная на его ускорение.

Имеется, положим, закон, что импульс со­храняется тогда, когда сумма внешних сил равна нулю. И вот у нас спрашивают: «А что это значит: сумма внешних сил равна нулю?» И мы любезно отвечаем: «Когда полный импульс постоянен, то сумма внешних сил равна нулю». Нет, здесь что-то не то. Ведь ничего нового мы при этом не сказали. Обнаружив основной закон, утверждающий, что сила есть масса на ускорение, а потом определив силы как произведение массы на ускорение, мы ни­чего нового не открываем. Можно также определить силу и на другой манер: движущееся тело, на которое сила не действует, продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Тог­да, увидев, что тело не движется по прямой с постоянной ско­ростью, мы можем утверждать, что на него действует сила. Но такие высказывания не могут составить содержание физики: зачем же ей гонять определения по кругу? Несмотря на это, приведенное выше положение Ньютона, по-видимому, самое точное из всех определений силы, одно из тех, которые так мно­го говорят сердцу математика. И все же оно совершенно беспо­лезно, потому что из одного определения никогда ничего никто не выводил. Можно день-деньской просиживать в кресле, опре­деляя слова по своему хотению, но совсем иное дело — понять, что происходит при столкновении двух шаров или что бывает, когда груз висит на пружинке. Поведение тел и выбор определе­ний — между этими вещами нет ничего общего.