Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором -b=(-1)b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5.

Фиг.11,5. Вычитание векторов.

На этом черте­же изображено

d=а-b=а+(-b); заметим также, что, зная векторы а и b, разность а-b можно легко найти из эквивалентного соотношения а=b+d. Таким образом найти раз­ность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а-b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx'ldt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Вы­ражение для скорости можно записать очень интересно:

v=dr/dt.

Постараемся нагляднее представить себе, что такое ско­рость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Dt? Ответ: на Dr, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Dr=r2-r1. расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени Dt = t2-t1, то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t+Dt и t, деленной на Dt при Dt, стремящемся к нулю:

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продиффе­ренцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.

§ 6. Законы Ньютона в векторной записи

Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы должны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускоре­ния. Этот вектор равен производной по времени вектора скоро­сти, причем легко показать, что его составляющие равны вто­рым производным х, у и z no t:

После этого законы Ньютона можно записать таким образом: или ma = F, (11.13)

m(d2r/dt2)=F (11.14)

Фиг. 11.6. Перемещение частиц за малое время Dt=t2-t1,.

Теперь задача о доказательстве инвариантности законов Нью­тона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что F (сила) есть вектор; это мы предпола­гаем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11.13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, z, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать три уравнения каждый раз, ког­да мы хотим написать законы Ньютона или другие законы фи­зики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит в себе утверждение, что все составляющие равны.

Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предположим, например, что части­ца, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент t1скорость v1, а несколько позже, в момент t2,скорость v2. Чему равно ускорение? Ответ: ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей. Как же найти эту разность? Чтобы найти разность двух векторов, проведем вектор через концы векторов v2 и v1, иначе говоря, начертим вектор D в ка­честве разности этих двух векторов. Верно? Нет! Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположе­ны в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг. 11. 8 векторы v1 и v2 перенесены параллельно и равны их двойникам, изоб­раженным на фиг. 11.7.

Фиг. 11 .7. Криволинейная траек­тория.

Фиг. 11.8, Диаграмма для вычисления ускорения.

Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно Dv/Dt. Интересно заметить, что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоит из двух составляющих: Dv║ — вектора, параллельного касательной к пути, и вектора Dv┴, перпендикулярного к этой касательной. Эти векторы пока­заны на фиг. 11.8. Касательное к пути ускорение равно, есте­ственно, лишь изменению длины вектора, т. е. изменению вели­чины скорости v:

a║=dv/dt. (11.15)

Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычис­лить, взглянув на фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время Dt изме­нение угла между v1 и v2 равно малому углу Dq. Если величина скорости равна v, то

Dv┴=vDq, а ускорение а равно

а┴=v(dq/dt).

Теперь нам нужно знать Dq/Dt. Эту величину можно найти так: если в данный момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом R, то, поскольку за время Dt частица пройдет расстояние s=vDt,изменение угла равно

Dq=v(Dt/R) или Dq/Dt=v/R.

Таким образом, как мы уже установили ранее,

a=v2/R. (11.16)

§ 7. Скалярное произведение векторов

Давайте еще немного займемся свойствами векторов. Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех ко­ординатных системах. Следовательно, если какому-то шагу r соответствуют составляющие х, у, z в одной системе координат и составляющие х', у', z' в другой системе, то расстояние r= |r| одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, долж­ны ввести два расстояния

а затем проверить, что эти обе величины равны. Чтобы не во­зиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты рас­стояний. Мы должны, таким образом, показать, что

x2+у2+ z2=x'2+у'2+ г'2. (11.17)

Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) значения ж', у', z', мы увидим, что это действительно так. Зна­чит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, суще­ствуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе ко­ординат.

Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем по­строить функцию х, у и z, называемую скалярной функцией,— величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат. Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Соб­ственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Опре­делим теперь новую величину, которую обозначим а·а. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляю­щих вектора:

a·a=a2x+ a2y+a2z. (11.18)

Вы спросите: «В какой системе координат?» Но раз это число не зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат. Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантом, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадрат». Если теперь определить, исходя из векторов а и b, величину

a·b=axbx+ayby+ azbz, (11.19)