Алиса в стране Смекалки - Смаллиан Рэймонд М.

– Как интересно! – воскликнула Алиса.

– Кстати сказать, – заметил Шалтай-Болтай, – если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид – единственный критянин и что высказанное им утверждение – единственное утверждение, когда-либо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?

– Поразмысли над этим, – посоветовал Шалтай-Болтай, – а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?

Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:

– Взгляни на страницу 11. Истинно написанное там утверждение или ложно?

Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:

– 11 —

Утверждение на странице 11 истинно

Алиса немного подумала и ответила:

– Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.

– На этот раз ты абсолютно права! – согласился Шалтай-Болтай.

– Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!

– Что вы имеете в виду? – удивилась Алиса.

– А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.

Такое употребление слова «хамелеонный» показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.

– Я хотел бы провести еще один опыт, – сказал Шалтай-Болтай. – Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.

Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал 11, а там, где стоял номер 11, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:

– Как, по-твоему, – спросил Шалтай-Болтай, – ложно или истинно утверждение на странице 11?

Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.

– Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, – сказала она. – Это еще один парадокс!

– Правильно! – сказал Шалтай-Болтай. – Но как это доказать?

– Очень просто, – сказала Алиса. – В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.

– Ты растешь прямо на глазах! – воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.

– Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, – сказала Алиса. – Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?

– Буду очень рад, – ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. – Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?

– В ней говорится о брадобрее, – сказала Алиса. – В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?

– Это очень старая и очень легкая задача! – засмеялся Шалтай-Балтай.

– Но я не вижу ни одного приемлемого решения! – сказала Алиса. – Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей сам не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: «Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно», – мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.

– Кто бреется сам? – спросил Шалтай-Болтай.

– Как это кто? Брадобрей!

– Какой брадобрей? – допытывался Шалтай-Болтай.

– Брадобрей из истории о брадобрее! – ответила Алиса чуточку нетерпеливо.

– Ах вот кто! – протянул Шалтай-Болтай. – А кто сказал, что эта история правдива?

Алиса немного подумала.

– Послушайте, – сказала она. – Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории. Когда вы решаете задачу, разве можно отрицать то, что дано в ее условиях?

– А разве нельзя? – удивился Шалтай-Болтай. – Даже если то, что дано, внутренне противоречиво?

Такая идея не приходила Алисе в голову.

– В действительности, – продолжал Шалтай-Болтай, – такого брадобрея нет, не было и не будет. Такого брадобрея просто не могло быть потому, что, если бы он был, возникло бы противоречие.

Алисе объяснение Шалтая-Болтая показалось не очень убедительным.

– Подумай сама, – настаивал Шалтай-Болтай не без раздражения. – Предположим, я скажу тебе, что был на свете человек ростом шесть футов, а человек не был ростом шесть футов. Что ты на это скажешь?

– Скажу, что такого человека не было, – ответила Алиса.

– Хорошо! А предположим, я скажу тебе, что был на свете брадобрей, который сам ни брился, ни не брился. Что ты на это скажешь?

– Скажу, что такого брадобрея на свете не было, – ответила Алиса.

– Прекрасно! Именно о таком брадобрее и идет речь в твоей истории! Ведь твой брадобрей не мог бы ни бриться сам, ни не бриться сам! Следовательно, такого брадобрея на свете не было. Вот тебе логика!

На этот раз объяснения Шалтая-Болтая полностью убедили Алису.

– Существует близкая задача, которая позволяет яснее представить себе всю проблему, – продолжал Шалтай-Болтай. – В некотором городе живут два брадобрея. Назовем их брадобрей А и брадобрей В. Дано, что брадобрей А бреет всех жителей города, которые не бреются сами, но не дано, что он не бреет еще каких-нибудь жителей города. Относительно брадобрея В известно, что он не бреет ни одного жителя города, который бреется сам, но не обязательно бреет всех жителей города, которые не бреются сами. В этом случае вполне возможно, что брадобреи А и В существуют. Такое предположение ничему не противоречит.

– А в чем задача? – спросила Алиса.

– Задача состоит из двух частей. Бреет ли себя или не бреет брадобрей А? И бреет ли себя или не бреет брадобрей В?

Алиса немного подумала.

– Брадобрей А бреется сам, а брадобрей В сам не бреется, – ответила она, необычайно гордая своей сообразительностью.

– Хорошо! Очень хорошо! – похвалил ее Шалтай-Болтай. – А не можешь ли ты объяснить мне, почему?

– Потому, – начала весьма уверенно Алиса, – что если бы брадобрей А не брился сам, то он был бы одним из тех, кто не бреется сам, а поскольку всех таких жителей города он бреет, то должен был бы брить и самого себя, и мы приходим к противоречию. Следовательно, брадобрей А не бреется сам. Относительно брадобрея В можно сказать, что если бы он брился сам, то брил бы жителя города, который бреется сам, чего он никогда не делает. Значит, брадобрей В не может брить самого себя.