Алиса в стране Смекалки - Смаллиан Рэймонд М.

– А разве ты ответила правильно? – спросил Шалтай-Болтай.

– Конечно! – уверенно ответила Алиса. – Какие могут быть сомнения?

– Вот тут-то ты и попалась! – заявил Шалтай-Болтай. – Так как ты ответила «нет» и ответила правильно, то на заданный вопрос правильного ответа не существует!

– Именно это я и утверждаю! – сказала Алиса.

– Не совсем так! Если «нет» – правильный ответ, то когда я спрашиваю тебя, можно ли считать его правильным, ты должна была бы ответить «да», а не «нет»!

Алиса задумалась, и внезапно ей все стало ясно.

– Ну конечно же! – закричала она. – Вы абсолютно правы! Я должна была бы ответить «да», а не «нет»!

– Вот ты и опять попалась! – торжествующе заметил Шалтай-Болтай.

– Почему? – в изумлении воскликнула Алиса.

– Конечно, попалась, дитя мое! – «Да» не может быть правильным ответом!

– Почему? – спросила Алиса, удивленная еще больше, чем прежде.

– Ответить «да» – значит утверждать, что «нет» – правильный ответ. Но если «нет» – правильный ответ, то ты должна была бы дать его вместо того, чтобы давать неправильный ответ «да»!

– Ах так! – сказала Алиса, окончательно запутавшись. – Выходит, я правильно ответила в первый раз. Значит, на ваш вопрос мне все же следовало ответить «нет».

– Вовсе не следовало! – резко оборвал ее Шалтай-Болтай. – Я же доказал тебе это!

– Сдаюсь! – устало сказала Алиса. – А какой ответ правильный?

– Правильного ответа не существует, – торжествующе заявил Шалтай-Болтай, – и это – самое прекрасное в таких вопросах!

– А откуда вы берете эти головоломные вопросы? – спросила Алиса.

– Я придумываю их сам! – с гордостью ответил Шалтай-Болтай.

– Разве я не прав?

– Правы в чем? – спросила Алиса.

– Разве такие вопросы не заставляют думать?

– Еще как заставляют! – призналась Алиса. – У меня от вашего вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?

– Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это – самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!

– Знаю, – подтвердила Алиса. – Вы повторили это уже дважды.

– Не совсем! – возразил Шалтай-Болтай. – Я сказал это дважды, а повторил только один раз.

– Но дело не в этом, – продолжал он. – Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!

– А что это за утверждение? – спросила Алиса.

– Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.

Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.

– Очень интересно, – заметил он, – но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?

– Но ведь странички не вырваны из записной книжки, – возразила Алиса, – а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!

– Все равно страницы нужно нумеровать! – настаивал Шалтай-Болтай. – Я их тебе сейчас перенумерую.

Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал

– 10 —

Утверждение на странице 10 ложно

и отдал записную книжку Алисе.

– Что ты теперь скажешь? – спросил Шалтай-Болтай. – Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?

– На этот вопрос невозможно ответить, – сказала Алиса, немного подумав. – Оно может быть и истинным, и ложным.

– Неправильно! – воскликнул Шалтай-Болтай. – Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!

– А почему? – спросила Алиса.

– Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?

– А почему бы нет? – удивилась Алиса.

– Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.

– Совершенно верно! – сказала Алиса. – А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.

– Опять неправильно! – торжествующе сказал Шалтай-Болтай. – Оно не может быть и ложным!

– А почему? – спросила Алиса.

– А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!

– Как же быть? – огорченно сказала Алиса. – Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!

– Совершенно верно! – согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.

– Припоминаю, – продолжала Алиса, – что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше – историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:

«Все критяне лжецы». Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.

– Неправильно! – решительно возразил Шалтай-Болтай. – Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка. Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!

– Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? – попросила Алиса.

– Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом – того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?

– Я никогда не задумывалась над этим раньше, – призналась Алиса, – но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.

– Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, – ответил Шалтай-Болтай. – Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово «лжец» по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение – о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.

– Вижу, – сказала Алиса. – Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец – это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?

– Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, – уверил ее Шалтай-Болтай. – Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет. Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.

– Да ведь это парадокс! – сказала Алиса.

– Нет! – возразил Шалтай-Болтай. – Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!

– Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, – попросила Алиса.

– Охотно, – согласился Шалтай-Болтай. – Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!