Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Поскольку интерпретация G истинна, интерпретация ее отрицания ~G ложна. Из нашего предположения о непротиворечивости ТТЧ следует, что в ней не могут быть выведены ложные утверждения.

Таким образом, ни G, ни ее отрицание ~G не являются теоремами ТТЧ. Мы нашли в нашей системе дыру — неразрешимое суждение. Это не должно нас особенно беспокоить, если мы достаточно свободомыслящи, чтобы признать, что из этого следует. Это означает, что ТТЧ можно дополнить, как можно дополнить абсолютную геометрию. В действительности, ТТЧ, как и абсолютную геометрию, можно расширить в двух направлениях. Она может быть расширена в стандартном направлении, что соответствует расширению абсолютной геометрии в Эвклидовом смысле; или же, она, может быть расширена в нестандартном направлении, что, разумеется, соответствует расширению абсолютной геометрии в неэвклидовом смысле. Стандартным дополнением будет:

добавление G в качестве новой аксиомы.

Это кажется довольно безвредным и даже желательным, поскольку G всего на всего утверждает некую истину о системе натуральных чисел. А как насчет нестандартного расширения? Если следовать аналогии с ситуацией аксиомы параллельности, оно должно означать:

добавление отрицания G в качестве новой аксиомы.

Но как мы можем даже подумать о таком ужасной, отвратительной вещи? В конце концов, если перефразировать Саккери, не является ли то, что утверждает ~G, «противным самой природе натуральных чисел»?

Надеюсь, что вы оценили иронический смысл этой цитаты. Проблема с подходом Саккери к геометрии заключалась в том, что он основывался на жестком понятии о том, что истинно и что ложно; он хотел доказать только то, что он считал истинным с самого начала. Несмотря на его оригинальный метод — отрицание пятого постулата и доказательство многих «противных» утверждений вытекающей из этого геометрии — Саккери не допускал возможности иного взгляда на точки и линии. Не будем повторять его знаменитой ошибки; вместо этого давайте рассмотрим как можно беспристрастней, что означала бы добавка ~G в качестве аксиомы ТТЧ. Подумайте только, на что была бы похожа современная математика, если бы люди не решили в свое время добавить к ней аксиом типа:

Ea: (a+a)=S0

Ea: Sa=0

Ea: (a*a)=SS0

Ea: S(a*a)=0

Хотя каждое из этих утверждений «противно природе ранее известных числовых систем», каждое из них в то же время означает значительное и замечательное расширения понятия целых чисел: рациональные числа, отрицательные числа, иррациональные числа, мнимые числа. ~G пытается открыть нам глаза на такую возможность. В прошлом каждое новое расширение системы натуральных чисел встречалось в штыки. Это можно заметить по именам, данным непрошеным пришельцам: «иррациональные», «мнимые». Оставаясь верными традиции, давайте назовем числа, которые порождает ~G, супернатуральными, поскольку они противоречат всем понятиям разума и здравого смысла.

Если мы собираемся добавить ~G в качестве шестой аксиомы ТТЧ, мы должны постараться понять, каким образом эта строчка может сосуществовать с вышеприведенной пирамидальной семьей. Ведь ~G утверждает, что

«существуют некое число, составляющее пару доказательства с d».

При этом члены пирамидальной семьи с успехом утверждают, что

«0 не является этим числом»

«1 не является этим числом»

«2 не является этим числом»

*

*

Это сбивает с толку, поскольку кажется совершеннейшим противоречием (именно поэтому это называется ω-противоречивостью). Наша проблема заключается в том, что, так же как и в случае с расширенной геометрией, мы упрямо отказываемся модифицировать интерпретацию символов, несмотря на то, что прекрасно понимаем, что имеем дело с модифицированной системой. Мы хотим обойтись без добавления хотя бы одного символа — что, разумеется, оказывается невозможным.

Проблема разрешается, если мы интерпретируем E как «существует некое обобщенное натуральное число» вместо «существует некое натуральное число». Одновременно с этим нам придется соответствующим образом изменить интерпретацию A. Это значит, что, кроме натуральных, мы открываем дверь для неких новых чисел. Это супернатуральные числа. Натуральные и супернатуральные числа вместе составляют обобщенные натуральные числа.

Кажущееся противоречие теперь испаряется, поскольку пирамидальная семья все еще утверждает, что «никакое натуральное число не составляет пару доказательства ТТЧ с арифмоквайнификацией d» Строчки этой семьи ничего не упоминают о супернатуральных числах, поскольку для них не существует символов. С другой стороны, ~G утверждает, что существует такое обобщенное натуральное число, которое составляет пару доказательства ТТЧ с арифмоквайнификацией d. Противоречия больше нет. ТТЧ+~G превращается в непротиворечивую систему, если ее интерпретация включает супернатуральные числа.

Поскольку мы решили расширить интерпретацию обоих кванторов, это означает, что значение любой включающей их теоремы также расширяется. Например, теорема коммутативности

Aa:Aa':(a+a')=(a'+a)

теперь говорит нам, что сложение коммутативно для всех обобщенных чисел — другими словами, не только для натуральных, но и для супернатуральных чисел. Таким же образом, теорема ТТЧ. утверждающая, что «2 — не квадрат натурального числа» —

~Ea:(a*a)=SSO

теперь говорит нам, что 2 также не является квадратом никакого супернатурального числа. На самом деле, супернатуральные числа имеют те же свойства, как и натуральные, всегда, когда эти свойства выражены в теоремах ТТЧ. Иными словами, все, что может быть формально доказано для натуральных чисел, верно и для супернатуральных чисел. Это означает, что супернатуральные числа не являются чем-то хорошо знакомым, вроде дробей, отрицательных чисел, комплексных чисел и т. п. Вместо этого, супернатуральные числа могут быть представлены, как целые числа, большие чем всё натуральные числа — то есть, как бесконечно большие целые числа. Дело в том, что хотя теоремы ТТЧ могут «запретить» отрицательные числа, дроби, иррациональные и комплексные числа, они бессильны против бесконечно больших величин. Проблема в том, что в ТТЧ невозможно даже выразить высказывание «бесконечных величин не существует».

С первого взгляда это кажется весьма, странным. Насколько велико число, составляющее пару доказательства с Гёделевым номером строчки G? (Давайте назовем это число «I», без особой на то причины.) К несчастью, у нас нет подходящих терминов для описания размера бесконечно больших целых чисел, так что я боюсь, что мне не удастся поведать вам, насколько велико I. С другой стороны, насколько велико i (квадратный корень из -1)? Его величина не может быть выражена в терминах знакомых нам натуральных чисел. Вы не можете сказать, что i вдвое меньше 14. Вам приходится успокоиться на том, что i в квадрате равняется -1. Здесь уместно процитировать Абраама Линкольна. Когда его спросили, какой длины должны быть человеческие ноги, он ответил; «Достаточно длинными, чтобы доставать до земли». Примерно так же нам придется ответить на вопрос о величине I: оно должно равняться числу, определяющему структуру доказательства G: не больше и не меньше.

Разумеется, любая теорема ТТЧ может быть выведена разными способами, так что вы можете пожаловаться, что мое определение I не является единственным. Это верно. Но сравнение с i, квадратным корнем из -1, все равно годится. Вспомните, что существует еще одно число, чей квадрат равняется -1 — а именно, -i. i и -i — не одно и то же число. У них просто есть общее свойство. Проблема в том, что они определяются именно через это свойство! Нам приходится выбрать одно из них — неважно, какое именно — и называть его i. На самом деле, мы никак не можем их различить. Вполне возможно, что все эти годы мы считали за «i» ошибочное число — однако для нас в этом не было никакой разницы. Так же как i, I определено неоднозначно. Вы можете думать об I как о каком-либо из многих супернатуральных чисел, составляющих пару доказательства с арифмоквайнификацией d.

Мы еще не выяснили всех последствий добавления —G в качестве аксиомы ТТЧ Дело в том, что ~G утверждает, что у G имеется доказательство! Как может какая-либо система устоять, когда одна из ее аксиом утверждает, что ее собственное отрицание имеет доказательство? Тут-то мы попали в переделку! Однако все не так плохо, как кажется Пока мы строим только конечные доказательства, нам не удастся доказать G. Таким образом, кошмарного столкновения между G и ее отрицанием —G не произойдет никогда Супернатуральное число I не будет причиной несчастья. Однако нам придется привыкнуть к мысли, что теперь истинно ~G (утверждающее, что у G есть доказательство), в то время как G (утверждающее, что у G нет доказательства) ложно. В стандартной теории чисел дело обстоит наоборот — но там нет никаких супернатуральных чисел. Обратите внимание на то, что супернатуральная теорема ТТЧ — а именно, G — может утверждать нечто ложное, но все натуральные теоремы остаются истинными.