Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

vx=dx/dt (8.11)

а вертикальная составляющая, или y-компонента, равна

vy=dy/dt (8.12)

В случае трех измерений необходимо еще добавить

vz=dz/dt. (8.13)

Как, зная компоненты скорости, определить полную ско­рость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных корот­ким интервалом времени Dt = t2-t1и расстоянием Ds. Из фиг. 8.3 видно, что

(Значок » соответствует выражению «приблизительно равно».)

Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.

Средняя скорость в течение интервала Dt получается простым делением: Ds/Dt. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить Dt к нулю. В результате оказывается, что

В трехмерном случае точно таким же способом можно полу­чить

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения ахопределяется как производная от x-компоненты скорости vx(т. е. ax=d2x/dt2 — вторая производ­ная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешан­ного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизон­тальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как vx=dxldt=u и, следовательно, скорость vxпостоянна, то

x=ut, (8.17)

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно -g, то координата у падающего шара дается формулой

y= -1/2gt2. (8.18)

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим

y=-(g/2u2)x2 (8.19)

Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4).

Фиг. 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, бро­шенное с горизонтальной началь­ной скоростью.

Так что любое свободно падающее тело, будучи бро­шенным в некотором направлении, движется по параболе.

Глава 9

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

§ 1. Импульс и сила

§ 2. Компоненты ско­рости, ускорения и силы

§ 3. Что такое сила?

§ 4. Смысл динами­ческих уравне­ний

§ 5. Численное реше­ние уравнении

§ 6. Движение планет

§ 1. Импульс и сила

Открытие законов динамики или законов движения стало одним из наиболее драмати­ческих моментов в истории науки. До Ньютона движение различных тел, например планет, представлялось загадкой для ученых, но после открытия Ньютона все вдруг сразу стало по­нятно. Смогли быть вычислены даже очень слабые отклонения от законов Кеплера, обус­ловленные влиянием других планет. Движение маятника, колебания груза, подвешенного на пружине, и другие непонятные до того явления раскрыли свои загадки благодаря законам Ньютона. То же самое можно сказать и об этой главе. До нее вы не могли рассчитать, как движется грузик, прикрепленный к пружине, не говоря уже о том, чтобы определить влияние Юпитера и Сатурна на движение Урана. Но после этой главы вам будет доступно и то и дру­гое!

Первый большой шаг в понимании движе­ния был сделан Галилеем, когда он открыл свой принцип инерции: тело, предоставленное самому себе, если на него не действует ника­кая сила, сохраняет свое прямолинейное дви­жение с постоянной скоростью, как двигалось до этого, или остается в покое, если оно до этого покоилось. Конечно, в природе такого не бывает. Попробуйте толкнуть кубик, стоящий на столе. Он остановится. Причина в том, что кубик трется о стол, он не предоставлен са­мому себе. Нужно иметь очень богатое вообра­жение, чтобы увидеть за этим принцип инер­ции.

Естественно нужно еще разрешить следую­щий вопрос: а как изменяется скорость тела, если на него что-то действует? Ответ был дан Ньютоном. Он сформулировал три закона. Первый закон представляет собой просто повторение принципа инерции Галилея. Второй закон говорит о том, как изменяется скорость тела, когда оно испы­тывает различные влияния, т. е. когда на него действуют силы. Третий закон в каком-то смысле описывает силы, но о нем мы поговорим несколько позже. Здесь будет идти речь о Втором законе, согласно которому под действием силы движение тел изменяется следующим образом: скорость изменения со временем некой величины, называемой количеством движения, или импуль­сом, пропорциональна силе. Позднее мы запишем короткую ма­тематическую формулировку этого закона, а сейчас давайте раз­беремся в его содержании.

Импульс и скорость — вещи разные. В физике употребляет­ся много слов, и каждое из них в отличие от обычного разго­ворного языка имеет точный смысл. Примером может служить слово «импульс», и мы должны определить его точно. Толкните слегка рукой какой-нибудь легкий предмет — он тотчас начнет двигаться. Если с такой же силой толкнуть гораздо более тя­желый предмет, то он будет двигаться значительно медленней. В сущности нужно говорить не о «легком» или «тяжелом» пред­мете, а о менее массивном или более массивном, так как между весом и инерцией предмета есть разница, которую нужно пони­мать. (Сколько весит тело — это одно, а насколько трудно разо­гнать его — совсем другое.) Однако на поверхности Земли вес и инерция пропорциональны друг другу и зачастую рассмат­риваются как численно равные. Это часто приводит к непони­манию разницы между ними. На Марсе, например, вес предметов будет отличаться от веса на Земле, но инертность останется той же самой, т. е. потребуется то же количество силы, чтобы пре­одолеть инерцию тела.

Количественной мерой инертности является масса. Ее мож­но измерять так: просто привязать предмет на веревочке, кру­тить его с определенной скоростью и измерять ту силу, которая необходима, чтобы удержать его. Этим способом можно из­мерять массу любых предметов. Импульс — это просто произ­ведение массы тела на его скорость. Теперь можно записать Вто­рой закон Ньютона в математической форме:

F =(d/dt)(mv). (9.1)

Давайте разберем подробнее некоторые его стороны. При напи­сании закона, подобного этому, обычно используется много интуитивных идей; что-то подразумевается, что-то предпола­гается и комбинируется в приближенный «закон». Но после этого необходимо снова вернуться назад и подробно изучить, что означает каждый член. Если же пытаться сделать это с самого начала, то можно безнадежно запутаться. Так что мы считаем некоторые положения само собой разумеющимися и но требующими никакого доказательства. Во-первых, мы считаем, что массы тел постоянны. Это, вообще говоря, неправильно, но мы начнем с ньютоновского приближения, когда масса считается постоянной и не изменяющейся с течением времени. Во-вторых, если сложить вместе два предмета, то масса образовавшегося тела равна сумме их масс. Это положение неявно предполагалось Ньютоном, когда он писал свои уравнения, в противном слу­чае они были бы бессмысленны. Пусть, например, масса изме­няется обратно пропорционально скорости, но тогда импульс никогда бы не изменялся и закон потерял бы всякое содержание, за исключением только того, что вы знаете, как изменяется масса со скоростью. Так что сначала мы считаем массу неизмен­ной.

Несколько слов о силе. В качестве первого грубого при­ближения мы рассматривали силу как некий толчок или тягу, которая может быть произведена с помощью наших мышц, но теперь, пользуясь уравнением движения, мы можем определить ее более точно. Очень важно помнить, что закон Ньютона вклю­чает не только изменение величины импульса, но и изменение его направления. Итак, если масса постоянна, то уравнение (9.1) можно записать в виде

F =m(dv/dt)=ma, (9.2)

где а — ускорение, т. е. «скорость изменения скорости». Вто­рой закон Ньютона означает не только то, что изменения, выз­ванные данной силой, обратно пропорциональны массе, но и то, что направление изменения скорости совпадает с направ­лением действия силы. Важно понимать, что термин «ускорение» имеет в физике более широкий смысл, чем в обычной разговор­ной речи. Он означает не только увеличение скорости, но и за­медление ( в этом случае мы говорим, что ускорение отрицатель­но), и перемену направления движения. В гл. 7 мы уже позна­комились с ускорением, направленным под прямым углом к скорости, и мы видели, что предмет, движущийся по окружнос­ти радиусом R со скоростью v, за малый интервал времени t уклоняется от своего прямого пути на расстояние 1/2(v2/R)t2. Так что в этом случае ускорение направлено под прямым углом к направлению движения и равно