Коллектив Авторов - Базы данных: конспект лекций

2. Унарная операция проекции

Еще одна стандартная унарная операция, которую мы изучим, – это операция проекции. Операция проекции – это операция выбора столбцов из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо признаку. А именно машина выбирает те атрибуты (т. е. буквально те столбцы) исходного отношения-операнда, которые были указаны в проекции.

Оператор проекции обозначается [S'] или π<S'>. Здесь S' – подсхема исходной схемы отношения S, т. е. ее некоторые столбцы. Что это означает? Это означает, что у S’ атрибутов меньше, чем у S, потому что в S' остались только те из них, для которых выполнилось условие проекции. А в таблице, представляющей отношение r(S' ), строк столько же, сколько их у таблицы r(S), а столбцов – меньше, так как остались только соответствующие оставшимся атрибутам. Таким образом, оператор проекции π< S'> применительно к отношению r(S) дает в результате новое отношение с другой схемой отношения r(S' ), состоящее из проекций t(S) [S' ] кортежей исходного отношения. Как определяются эти проекции кортежей? Проекция любого кортежа t(S) исходного отношения r(S) на подсхему S' определяется следующей формулой:

t(S) [S’] = {t(a)|a ∈ def(t) ∩ S’}, S' ⊆S.

Важно заметить, что дубликаты кортежей из результата исключаются, т. е. в таблице, представляющей новое, результирующее отношение повторяющихся строк не будет.

С учетом всего вышесказанного, операция проекции в терминах систем управления базами данных будет выглядеть следующим образом:

π<S'>r(S) ≡ π<S’>r ≡ r(S) [S’] ≡ r [S' ] = {t(S) [S’] | t ∈ r };

Рассмотрим пример, иллюстрирующий принцип работы операции выборки.

Пусть дано отношение «Сессия» и схема этого отношения:

S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);

Нас будут интересовать только два атрибута из этой схемы, а именно «№ зачетной книжки» и «Фамилия» студента, поэтому подсхема S' будет выглядеть следующим образом:

S' : (№ зачетной книжки, Фамилия).

Нужно исходное отношение r(S) спроецировать на подсхему S'.

Далее, пусть нам дан кортеж t0(S) из исходного отношения:

t0(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Значит, проекция этого кортежа на данную подсхему S' будет выглядеть следующим образом:

t0(S) S': {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’)};

Если говорить об операции проекции в терминах таблиц, то проекция Сессия [№ зачетной книжки, Фамилия] исходного отношения – это таблица Сессия, из которой вычеркнуты все столбцы, кроме двух: № зачетной книжки и Фамилия. Кроме того, все дублирующиеся строки также удалены.

3. Унарная операция переименования

И последняя унарная операция, которую мы рассмотрим, – это операция переименования атрибутов. Если говорить об отношении как о таблице, то операция переименования нужна для того, чтобы поменять названия всех или некоторых столбцов.

Оператор переименования выглядит следующим образом: ρ<φ>, здесь φ — функция переименования.

Эта функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между именами атрибутов схем S и Ŝ, где соответственно S — схема исходного отношения, а Ŝ — схема отношения с переименованными атрибутами. Таким образом, оператор ρ<φ> в применении к отношению r(S) дает новое отношение со схемой Ŝ, состоящее из кортежей исходного отношения только с переименованными атрибутами.

Запишем операцию переименования атрибутов в терминах систем управления базами данных:

ρ<φ> r(S) ≡ ρ<φ>r = {ρ<φ> t(S)| t ∈ r};

Приведем пример использования этой операции:

Рассмотрим уже знакомое нам отношение Сессия, со схемой:

S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка);

Введем новую схему отношения Ŝ, с другими именами атрибутов, которые мы бы хотели видеть вместо имеющихся:

Ŝ : (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);

Например, заказчик базы данных захотел в вашем готовом отношении видеть другие названия. Чтобы воплотить в жизнь этот заказ, необходимо спроектировать следующую функцию переименования:

φ : (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка) → (№ ЗК, Фамилия, Предмет, Балл);

Фактически, требуется поменять имя только у двух атрибутов, поэтому законно будет записать следующую функцию переименования вместо имеющейся:

φ : (№ зачетной книжки, Оценка) → (№ ЗК, Балл);

Далее, пусть дан также уже знакомый нам кортеж принадлежащий отношению Сессия:

t0(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Применим оператор переименования к этому кортежу:

ρ<φ> t0(S): {(№ ЗК: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Балл: 5)};

Итак, это один из кортежей нашего отношения, у которого переименовали атрибуты.

В табличных терминах отношение

ρ < № зачетной книжки, Оценка → «№ ЗК, Балл > Сессия —

это новая таблица, полученная из таблицы отношения «Сессия», переименованием указанных атрибутов.

4. Свойства унарных операций

У унарных операций, как и у любых других, есть определенные свойства. Рассмотрим наиболее важные из них.

Первым свойством унарных операций выборки, проекции и переименования является свойство, характеризующее соотношение мощностей отношений. (Напомним, что мощность – это количество кортежей в том или ином отношении.) Понятно, что здесь рассматривается соответственно отношение исходное и отношение, полученное в результате применения той или иной операции.

Заметим, что все свойства унарных операций следуют непосредственно из их определений, поэтому их можно легко объяснить и даже при желании вывести самостоятельно.

Итак:

1) соотношение мощностей:

а) для операции выборки: | σ<P>r |≤ |r|;

б) для операции проекции: | r[S'] | ≤ |r|;

в) для операции переименования: | ρ<φ>r | = |r|;

Итого, мы видим, что для двух операторов, а именно для оператора выборки и оператора проекции, мощность исходных отношений – операндов больше, чем мощность отношений, получаемых из исходных применением соответствующих операций. Это происходит потому, что при выборе, сопутствующему действию этих двух операций выборки и проекции, происходит исключение некоторых строк или столбцов, не удовлетворивших условиям выбора. В том случае, когда условиям удовлетворяют все строки или столбцы, уменьшения мощности (т. е. количества кортежей) не происходит, поэтому в формулах неравенство нестрогое.

В случае же операции переименования, мощность отношения не изменяется, за счет того, что при смене имен никакие кортежи из отношения не исключаются;

2) свойство идемпотентности:

а) для операции выборки: σ<P> σ<P>r = σ<P>;

б) для операции проекции: r [S’] [S’] = r [S'];

в) для операции переименования в общем случае свойство идемпотентности неприменимо.

Это свойство означает, что двойное последовательное применение одного и того же оператора к какому-либо отношению равносильно его однократному применению.

Для операции переименования атрибутов отношения, вообще говоря, это свойство может быть применено, но обязательно со специальными оговорками и условиями.

Свойство идемпотентности очень часто используется для упрощения вида выражения и приведения его к более экономичному, актуальному виду.