Коллектив Авторов - Базы данных: конспект лекций

Здесь, как и в табличной форме представления, домены атрибутов не указываются, но подразумеваются.

Из определения следует, что схема отношения может быть и пустой (S = ∅). Правда, возможно это только в теории, так как на практике система управления базами данных никогда не допустит создания пустой схемы отношения.

Именованное значение кортежа на атрибуте (обозначается t(a))определяется по аналогии с атрибутом как упорядоченная пара, состоящая из имени атрибута и значения атрибута, т. е.:

t(a) = (name(a) : x), x ∈ dom(a);

Видим, что значение атрибута берется из домена атрибута.

В табличной форме представления отношения каждое именованное значение кортежа на атрибуте – это соответствующая ячейка таблицы:

Здесь t(a1), t(a2), t(a3) – именованные значения кортежа t на атрибутах а1, а2, а3.

Простейшие примеры именованных значений кортежей на атрибутах:

(Курс: 5), (Балл: 5);

Здесь соответственно Курс и Балл – имена двух атрибутов, а 5 – это одно из их значений, взятое из их доменов. Разумеется, хоть эти значения в обоих случаях равны друг другу, семантически они различны, так как множества этих значений в обоих случаях отличаются друг от друга.

4. Кортежи. Типы кортежей

Понятие кортежа в системах управления базами данных может быть интуитивно найдено уже из предыдущего пункта, когда мы говорили об именованном значении кортежа на различных атрибутах. Итак, кортеж (обозначается t, от англ. tuple – «кортеж») со схемой отношения S определяется как множество именованных значений этого кортежа на всех атрибутах, входящих в данную схему отношений S. Другими словами, атрибуты берутся из области определения кортежа, def(t), т. е.:

t ≡ t(S) = {t(a) | a ∈ def(t) ⊆ S;.

Важно, что одному имени атрибута обязательно должно соответствовать не более одного значения атрибута.

В табличной форме записи отношения кортежем будет любая строка таблицы, т. е.:

Здесь t1(S) = {t(a1), t(a2), t(a3), t(a4)} и t2(S) = {t(a5), t(a6), t(a7), t(a8)} – кортежи.

Кортежи в СУБД различаются по типам в зависимости от своей области определения. Кортежи называются:

1) частичными, если их область определения включается или совпадает со схемой отношения, т. е. def(t) ⊆ S.

Это общий случай в практике баз данных;

2) полными, в том случае если их область определения полностью совпадает, равна схеме отношения, т. е. def(t) = S;

3) неполными, если область определения полностью включается в схему отношений, т. е. def(t) ⊂ S;

4) нигде не определенными, если их область определения равна пустому множеству, т. е. def(t) = ∅.

Поясним на примере. Пусть у нас имеется отношение, заданное следующей таблицей.

Пусть здесь t1 = {10, 20, 30}, t2 = {10, 20, Null}, t3 = {Null, Null, Null}. Тогда легко заметить, что кортеж t1 – полный, так как его область определения def(t1) = { a, b, c} = S.

Кортеж t2 – неполный, def(t2) = { a, b} ⊂ S. И, наконец, кортеж t3 – нигде не определенный, так как его def(t3) = ∅.

Надо заметить, что нигде не определенный кортеж – это пустое множество, тем не менее ассоциируемое со схемой отношений. Иногда нигде не определенный кортеж обозначается: ∅(S). Как мы уже видели в приведенном примере, такой кортеж представляет собой строку таблицы, состоящую только из Null-значений.

Интересно, что сравнимыми, т. е. возможно равными, являются только кортежи с одной и той же схемой отношений. Поэтому, например, два нигде не определенных кортежа с различными схемами отношений не будут равными, как могло ожидаться. Они будут различными так же, как их схемы отношений.

5. Отношения. Типы отношений

И наконец дадим определение отношению, как некой вершине пирамиды, состоящей из всех предыдущих понятий. Итак, отношение (обозначается r, от англ. relation – «отношение») со схемой отношений S определяется как обязательно конечное множество кортежей, имеющих ту же схему отношения S. Таким образом:

r ≡ r(S) = {t(S) | t ∈r};

По аналогии со схемами отношений количество кортежей в отношении называют мощностью отношений и обозначают как мощность множества: |r|.

Отношения, как и кортежи, различаются по типам. Итак, отношения называются:

1) частичными, если для любого входящего в отношение кортежа выполняется следующее условие: [def(t) ⊆ S].

Это (как и с кортежами) общий случай;

2) полными, в том случае если ∀t ∈ r(S) выполняется: [def(t) = S];

3) неполными, если ∃t ∈ r(S) def(t) ⊂ S;

4) нигде не определенными, если ∀t ∈ r(S) [def(t) = ∅].

Обратим отдельное внимание на нигде не определенные отношения. В отличие от кортежей работа с такими отношениями включает в себя небольшую тонкость. Дело в том, что нигде не определенные отношения могут быть двух видов: они могут быть либо пустыми, либо могут содержать единственный нигде не определенный кортеж (такие отношения обозначаются {∅(S)}).

Сравнимыми (по аналогии с кортежами), т. е., возможно равными, являются лишь отношения с одной и той же схемой отношения. Поэтому отношения с различными схемами отношений являются различными.

В табличной форме представления, отношение – это тело таблицы, которому соответствует строка – заголовок столбцов, т. е. буквально – вся таблица, вместе с первой строкой, содержащей заголовки.

Лекция № 4. Реляционная алгебра. Унарные операции

Реляционная алгебра, как нетрудно догадаться, – это особая разновидность алгебры, в которой все операции производятся над реляционными моделями данных, т. е. над отношениями.

В табличных терминах отношение включает в себя строки, столбцы и строку – заголовок столбцов. Поэтому естественными унарными операциями являются операции выбора определенных строк или столбцов, а также смены заголовков столбцов – переименования атрибутов.

1. Унарная операция выборки

Первой унарной операцией, которую мы рассмотрим, является операция выборки – операция выбора строк из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо принципу, т. е. выбор строк-кортежей, удовлетворяющих определенному условию или условиям.

Оператор выборки обозначается σ<P>, условие выборки – P<S>, т. е., оператор σ берется всегда с определенным условием на кортежи P, а само условие P записывается зависящим от схемы отношения S. С учетом всего этого сама операция выборки над схемой отношения S применительно к отношению r будет выглядеть следующим образом:

σ<P>r(S) ≡ σ<P>r = {t(S) |t ∈ r & P<S>t} = {t(S) |t ∈ r & IfNull(P<S>t, False};

Результатом этой операции будет новое отношение с той же схемой отношения S, состоящее из тех кортежей t(S) исходного отношения-операнда, которые удовлетворяют условию выборки P<S>t. Понятно, что для того, чтобы применить какое-то условие к кортежу, необходимо подставить значения атрибутов кортежа вместо имен атрибутов.

Чтобы лучше понять принцип работы этой операции, приведем пример. Пусть дана следующая схема отношения:

S: Сессия (№ зачетной книжки, Фамилия, Предмет, Оценка).

Условие выборки возьмем такое:

P<S> = (Предмет = ‘Информатика’ and Оценка > 3).

Нам необходимо из исходного отношения-операнда выделить те кортежи, в которых содержится информация о студентах, сдавших предмет «Информатика» не ниже, чем на три балла.

Пусть также дан следующий кортеж из этого отношения:

t0(S) ∈ r(S): {(№ зачетной книжки: 100), (Фамилия: ‘Иванов’), (Предмет: ‘Базы данных’), (Оценка: 5)};

Применяем наше условие выборки к кортежу t0, получаем:

P<S>t0 = (‘Базы данных’ = ‘Информатика’ and 5 > 3);

На данном конкретном кортеже условие выборки не выполняется.

А вообще результатом этой конкретной выборки

σ<Предмет = 'Информатика' and Оценка > 3 > Сессия

будет таблица «Сессия», в которой оставлены строки, удовлетворяющие условию выборки.

2. Унарная операция проекции

Еще одна стандартная унарная операция, которую мы изучим, – это операция проекции. Операция проекции – это операция выбора столбцов из таблицы, представляющей отношение, по какому-либо признаку. А именно машина выбирает те атрибуты (т. е. буквально те столбцы) исходного отношения-операнда, которые были указаны в проекции.