БСЭ - Большая Советская энциклопедия (Но)

Р. И. Энтин.

Нормаль

Нормаль (франц. normal, от лат. normalis — прямой) к кривой (к поверхности) в данной её точке — прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой же точке кривой (поверхности). Плоская кривая имеет в каждой точке единственную Н., расположенную в плоскости кривой. Если х =f (t) и у = g (t) — параметрические уравнения плоской кривой L, то уравнение Н. в точке (x0, y0) кривой L, соответствующей значению t0 параметра t, может быть записано в виде: .

Для плоской кривой, заданной уравнением F (х, у) = 0, уравнение Н. имеет вид: .

Пространственная кривая имеет в каждой своей точке бесчисленное множество Н., заполняющих некоторую плоскость (нормальную плоскость). Н., лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Н., перпендикулярную к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Касательная, главная Н. и бинормаль образуют подвижный триэдр кривой.

Для поверхности, заданной уравнением F (х, у, z) = 0, Н. может быть представлена уравнениями: .

Понятие Н. играет существенную роль не только в дифференциальной геометрии, но и в различных её приложениях: в геометрической оптике (например, в формулировке основных законов преломления и отражения световых лучей), в механике (материальная точка или тело при перемещениях по гладким линиям или поверхностям испытывают реакцию, направленную по Н., в консервативном поле силовые линии в каждой точке имеют направление Н. к изопотенциальной поверхности, проходящей через эту точку, и т. д.).

Нормальная высота

Нормальная высота, см. в ст. Нивелирная высота.

Нормальная (жорданова) форма матриц

Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей  связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

 (1)

Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке l1, во второй l2и т. д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья — порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел l1, l2…. возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие элементарные делители: (l — l1)4, (l — l2)2, (l — l3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.

Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.

Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

в матричной записи:

Введём новые неизвестные функции y1, у2…. yn при помощи неособенной матрицы  [tik — числа (i, k = 1, 2, …, n)]:

в матричной записи:

х = Ту.

Подставляя это выражение для x в (2), получим:

где матрица I связана с матрицей А равенством:

А=TIT-1.

Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица  имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:

Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.

Лит. см. при ст. Матрица.

Нормальная плоскость

Нормальная плоскость пространственной кривой в данной её точке М — плоскость, проходящая через М перпендикулярно к касательной прямой в той же точке. Н. п. содержит все нормали к кривой, проходящие через данную точку. Если кривая задана в прямоугольных координатах уравнениями х = f (t), у = g (t), z = h (t), то уравнение Н. п. в точке М (х0, у0, z0), соответствующей значению t0 параметра t, может быть написано в виде:

Нормальная производная

Нормальная производная, производная, взятая от функции, заданной в пространстве (или на плоскости), по нормали к некоторой поверхности (соответственно, линии, лежащей в той же плоскости). Пусть S — поверхность, Р — точка поверхности S, а функция f задана в некоторой окрестности точки Р. Тогда Н. п. от f в точке Р равна пределу отношения разности f (A) — f (P) (гдеА — точка нормали к поверхности S в точке Р, стремящаяся к Р с одной стороны S) к расстоянию от A до Р (см. рис.). Смотря потому, с какой стороны А приближается к Р, различают производную от f по внешней и по внутренней нормали к S. Рассмотрение Н. п. особенно важно в теории краевых задач.

Рис. к ст. Нормальная производная.

Нормальное распределение

Нормальное распределение, одно из важнейших распределений вероятностей. Термин «Н. р.» применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распредслениям случайных векторов).

Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если оно имеет плотность вероятности . (*)

Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров а и s. При этом математическое ожидание Х равно а, дисперсия Х равна s2. Кривая Н. р. у = р (х;а, s) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением s кривая Н. р. становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном s не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой Н. р., всегда равна единице. При a = 0, s = 1 соответствующая функция распределения равна

.

В общем случае функция распределения Н. р. (*) F (х;а, s) может быть вычислена по формуле F (x;а, s) = Ф (t), где t = (х — а)/s. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность неравенства , равная 1— Ф (k)+ Ф (— k), убывает весьма быстро с ростом k (см. таблицу).