Ричард Фейнман - 1. Современная наука о природе, законы механики

Иногда мы строим догадки потому, что хотим при ограничен­ности своих знаний сказать как можно больше о данной ситуа­ции. В сущности ведь любое обобщение носит характер догадки. Любая физическая теория — это своего рода догадка. Но догадки тоже бывают разные: хорошие и плохие, близкие и дале­кие. Тому, как делать наилучшие догадки, учит нас теория веро­ятностей. Язык вероятностей позволяет нам количественно го­ворить о таких ситуациях, когда исход весьма и весьма неопре­деленен, но о котором все же в среднем можно что-то сказать.

Давайте рассмотрим классический пример с подбрасыванием монеты. Если монета «честная», то мы не можем знать наверня­ка, какой стороной она упадет. Однако мы предчувствуем, что ври большом числе бросаний число выпадений «орла» и «решки» должно быть приблизительно одинаковым. В этом случае го­ворят: вероятность выпадения «орла» равна половине.

Мы можем говорить о вероятности исхода только тех наблю­дений, которые собираемся проделать в будущем. Под вероятнос­тью данного частного результата наблюдения понимается ожидаемая нами наиболее правдоподобная доля исходов с данным результатом при некотором числе повторений наблюдения. Вообразите себе повторяющееся N раз наблюдение, например подбрасывание вверх монеты. Если NА — наша оценка наибо­лее правдоподобного числа выпадений с результатом А, напри­мер выпадений «орла», то под вероятностью Р(А) результата А мы понимаем отношение

P(A) =NA/N (6.1)

Наше определение требует некоторых комментариев. Преж­де всего мы говорим о вероятности какого-то события только в том случае, если оно представляет собой возможный резуль­тат испытания, которое можно повторить. Но отнюдь не ясно, имеет ли смысл такой вопрос: какова вероятность того, что в этом доме поселилось привидение?

Вы, конечно, можете возразить, что никакая ситуация не может повториться в точности. Это верно. Каждое новое наблю­дение должно происходить по крайней мере в другое время или в другом месте. По этому поводу я могу сказать только одно: необходимо, чтобы каждое «повторное» наблюдение казалось нам эквивалентным. Мы должны предполагать по крайней мере, что каждый новый результат наблюдения возник из равноцен­ных начальных условий и из одного и того же уровня началь­ных знаний. Последнее особенно важно. (Если вы заглянули в карты противника, то, конечно, ваши прогнозы о шансах на выигрыш будут совсем другими, чем если бы вы играли честно!)

Хочу отметить, что я не собираюсь рассматривать значения N и NАв (6.1) только как результат каких-то действительных на­блюдений. Число NА— это просто наилучшая оценка того, что могло бы произойти при воображаемых наблюдениях. Поэтому вероятность зависит от наших знаний и способностей быть пророком, в сущности от нашего здравого смысла! К счастью, здравый смысл не столь уже субъективен, как это кажется на первый взгляд. Здравым смыслом обладают многие люди, и их суждения о степени правдоподобия того или иного события в большинстве случаев совпадают. Однако вероятность все же не является «абсолютным» числом. Поскольку в каком-то смыс­ле она зависит от степени нашего невежества, постольку с из­менением наших знаний она может меняться.

Отмечу еще одну «субъективную» сторону нашего определе­ния вероятности. Мы говорили, что NА — это «наша оценка на­иболее вероятного числа случаев». При этом, конечно, мы не надеялись, что число нужных нам случаев будет в точности равно NА, но оно должно быть где-то близко к NA; это число более вероятно, чем любое другое. Если подбрасывать монету вверх 30 раз, то вряд ли можно ожидать, что число выпадений «орла» будет в точности 15; скорее это будет какое-то число около 15, может быть 12, 13, 14, 15, 16 или 17. Однако если необхо­димо выбрать из этих чисел какое-то одно число, то мы бы реши­ли, что число 15 наиболее правдоподобно. Поэтому мы и пишем, что Р (орел) = 0,5.

Но почему все же число 15 более правдоподобно, чем все остальные? Можно рассуждать следующим образом: если наи­более вероятное число выпадений «орла» будет no, а полное число подбрасываний N, то наиболее вероятное число выпаде­ний «решек» равно N-NO. (Ведь предполагается, что при каж­дом подбрасывании должны выпасть только либо «орел», либо «решка» и ничего другого!) Но если монета «честная», то нет основания думать, что число выпадений «орла», например, дол­жно быть больше, чем выпадений «решки»? Так что до тех пор, пока у нас нет оснований сомневаться в честности подбрасываю­щего, мы должны считать, что Np=Nо, а следовательно, Np=no=N/2, или Р(орел) = P(решка) = 0,5.

Наши рассуждения можно обобщить на любую ситуацию, в которой возможны mразличных, но «равноценных» (т. е. равно­вероятных) результатов наблюдения. Если наблюдение может привести к mразличным результатам и ни к чему больше и если у нас нет оснований думать, что один из результатов пред­почтительнее остальных, то вероятность каждого частного исхода наблюдения А будет 1/m, т. е. Р(А) = 1/m.

Пусть, например, в закрытом ящике находятся семь шаров разного цвета и мы наугад, т. е. не глядя, берем один из них. Вероятность того, что у нас в руке окажется красный шар, равна 1/7. Вероятность того, что мы из колоды в 36 карт вытащим даму пик, равна 1/36, такая же, как и выпадение двух шесте­рок при бросании двух игральных костей.

· · ·

В гл. 5 мы определяли размер ядра с помощью затеняемой им площади или так называемого эффективного сечения. По существу речь шла о вероятностях. Если мы «обстреливаем» бы­стрыми частицами тонкую пластинку вещества, то имеется некая вероятность, что они пройдут через нее, не задев ядер, однако с некоторой вероятностью они могут попасть в ядро. (Ведь ядра столь малы, что мы не можем видеть их, мы, следо­вательно, не можем прицелиться, и «стрельба» ведется вслепую.) Если в нашей пластинке имеется nатомов и ядро каждого из них затеняет площадь а, то полная площадь, затененная ядра­ми, будет равна na. При большом числе N случайных выстрелов мы ожидаем, что число попаданий NCбудет так относиться к полному числу выстрелов, как затененная ядрами площадь от­носится к полной площади пластинки:

NC/N=s/A. (6.2)

Поэтому можно сказать, что вероятность попадания каждой из выстреленных частиц в ядро при прохождении сквозь пластин­ку будет равна

РC =ns/A, (6.3)

где n/А — просто число атомов, приходящихся на единицу площади пластинки.

§ 2. Флуктуации

Теперь мне бы хотелось несколько подробнее показать, как можно использовать идею вероятности, чтобы ответить на во­прос: сколько же в самом деле я ожидаю выпадений «орла», если подбрасываю монету N раз? Однако, прежде чем ответить на него, давайте посмотрим, что все-таки дает нам такой «эк­сперимент». На фиг. 6.1 показаны результаты, полученные в первых трех сериях испытаний по 30 испытаний в каждой.

Фиг. 6.1. Последовательность выпадения «орла» и «решки».

Три серии опытов подбрасывания моне­ты по 30 раз в каждой серии.

Последовательности выпадений «орла» и «решки» показаны в том порядке, как это происходило. В первый раз получилось 11 выпадений «орла», во второй — тоже 11, а в третий — 16. Можно ли на этом основании подозревать, что монета была «не­честной»? Или, может быть, мы ошиблись, приняв 15 за наиболее вероятное число выпадений «орла» в каждой серии испытаний?

Сделаем еще 97 серий, т. е. 100 серий по 30 испытаний в каждой. Результаты их приведены в табл. 6.1.

Таблица б.1 · число выпадений «орла»

Проведено несколько серий испытаний, по 30 подбрасываний монеты в каждой

Взгляните на числа, приведенные в этой таблице. Вы видите, что большинство результатов «близки» к 15, так как почти все они расположены между 12 и 18. Чтобы лучше прочувствовать эти результаты, нарисуем график их распределения. Для этого подсчитаем число испытаний, в которых получилось k выпаде­ний «орла», и отложим это число вверх над k. В результате по­лучим фиг. 6.2.