Владимир Катасонов - Сборник работ

Здесь явно видна «работа» принципа недостаточного основания. Выделяется причина ускорения (замедления) шарика: наклон плоскости. И затем этот наклон устремляют к нулю. Если исчезает причина изменения скорости, то и само изменение исчезает: скорость сохраняется. Т.е, для изменения скорости в одну или другую сторону — увеличения или уменьшения — нет достаточной причины. Поэтому скорость сохраняется. Логической причиной сохранения скорости по величине и направлению оказывается незнание: мы не усматриваем причин, по которым эта скорость могла бы измениться. Незнание оказывается парадоксальным образом опорой знания.

Другой пример: «вывод» закона инерции Декартом. Здесь логическая причина сохранения скорости уже более весома: «Из того, что Бог не подвержен изменениям и постоянно действует одинаковым образом, мы можем также вывести некоторые правила, которые я называю законами природы и которые суть вторичные причины различных движений, замечаемых нами во всех телах, вследствие чего они имеют большое значение»[136]. Из того, что Бог не подвержен изменениям и всегда действует одинаковым образом, следует, что «всякая вещь в частности продолжает по возможности пребывать в одном и том же состоянии и изменяет его не иначе как от встречи с другими»[137]. Отсюда следует, что тело, само по себе, или сохраняет движение, или сохраняет покой (относительно абсолютного пространства). Отсюда же следует и то, что тело, не испытывающее воздействия других, стремится двигаться по прямой. Причина всё та же: «Она заключается в том, что Бог неизменен и что Он простейшим действием сохраняет движение в материи…»[138] Причиной движения по инерции, «сохранения движения» является неизменность Бога. По-видимому, это положительное качество. Но, однако, логический смысл его чисто отрицательный: мы не видим оснований для изменений в Боге, всесовершенном и всеблагом. И это отсутствие оснований влечёт постоянство Бога, постоянство Его действий в мире и, наконец, «сохранение движения», закон инерции. Логика та же, что и у Галилея: наше незнание оснований для изменений (в Боге) влечёт за собой формулировку закона инерции. Опять незнание оказывается, странным образом, незыблемым и твердейшим фундаментом знания…

Ещё один аналогичный пример связан с основаниями теории вероятностей. Здание теории вероятностей можно представлять себе по-разному. Принципиальный момент здесь — это вопрос о вероятности так называемых элементарных исходов: вероятностей выпадания «орла» или «решётки» при бросании монеты, какой-то стороны кубика и т. д. Почему мы считаем, например, что вероятность выпадения «орла» у симметричной монеты равна вероятности выпадения «решётки» (и равна 0,5)?.. Так называемое частотное определение вероятности, развивавшееся в XX столетии, в частности, Р. Мизесом, не выдерживает элементарной критики. Утверждение о том, что вероятность появления признака А в определённой серии испытаний равна пределу частоты его появлений в конечном числе испытаний, невозможно оправдать без дополнительных и довольно искусственных ограничений. Нетрудно показать, что какой бы ни была частота rn0 появления признака А в первых n0 испытаниях, можно всегда построить такую последовательность испытаний с номерами n1 > n0 , что частоты rn будут, начиная с некоторого N отстоять от rn0 на некоторое e>0:

|rn — rn0|>e, n>N

Другими словами, частота в конечном числе испытаний отнюдь не характеризует предельную частоту появления признака. К последней невозможно «подобраться», так сказать, конечными испытаниями, если не делать дополнительных ограничительных предположений. Но каков философский смысл этих дополнительных предположений, что говорят они нам о самой реальности?..[139]

Чуткие умы всегда чувствовали этот живой парадокс, заключённый в понятии вероятности: с помощью вероятностей элементарных исходов мы можем считать вероятности более сложных событий, но сосчитать вероятность самого элементарного исхода мы не можем[140]. А. Пуанкаре писал в своём «Исчислении вероятностей»: «Полное определение вероятности есть, тем самым, род порочного круга: как узнать, что все случаи равновероятны? Математическое определение здесь невозможно; мы должны в каждом применении делать соглашения (conventions), говоря, что мы рассматриваем такие-то и такие случаи как равновероятные. Эти соглашения не совсем произвольны, но они ускользают от сознания математика, который и не должен их исследовать, как только они уже приняты. Таким образом, целое задачи о вероятности распадается на два этапа исследования: первый, так сказать, метафизический, который оправдывает то или иное соглашение; и второй, математический, который применяет к этим соглашениям правила исчисления»[141]. Теория вероятностей как математическая дисциплина, особенно после формулировки её в аксиоматической форме А.Н. Колмогоровым в 1933 году, должна быть отнесена как раз ко второму этапу. А первый, метафизический, это и есть тот, которым мы сейчас занимаемся. Как же оправдать априорные вероятности, назначаемые элементарным исходам? Здесь мы опять видим в работе принцип недостаточного основания. Когда мы говорим о симметрии монеты или кубика, мы, на самом деле, и подчёркиваем как раз, что у нас нет оснований считать выпадение одной стороны более возможным, чем другой, и эта равновозможность превращается в исчислении вероятностей в равновероятность. Равновероятность элементарных исходов — всё тот же «закон инерции», всё то же парадоксальное строительство здания знания на фундаменте незнания, на фундаменте, прочность которого гарантирована именно абсолютностью незнания. Эта своеобразная апофатика оказывается лежащей и в основании теории вероятностей.

§ 3. Научные теории бесконечности и апофатика

Но наиболее ярким «репрезентантом» апофатики в науке являются различные теории бесконечности и вообще всё, что связано с бесконечностью. И это неслучайно. Бесконечность в науке есть как бы отражение идеи христианского (библейского) Бога. Для греческой античности, в лице её наиболее авторитетных представителей, категория бесконечного не может входить в науку. «Бесконечное не существует ни в космосе, ни в уме», — говорил Аристотель. Бесконечное сближается греческой мыслью с неоформленным, текущим, со становлением, стоящим на границе бытия и небытия: бесконечное деление отрезка, бесконечное увеличение числа и т. д.[142]. В силу этого бесконечное — если даже и признавать его существование — непознаваемо. Другими словами, отношение к бесконечному в греческой античности именно апофатическое.

С христианством в европейскую культуру приходит бесконечный Бог: всемогущий, всеведущий, всеблагой. В христианской теологии начинаются первые спекулятивные построения вокруг понятия бесконечности. Постепенно они проникают и в науку. Начинаются попытки катафатического подхода к бесконечности. Пока богословие, укоренённое в прямом духовном опыте богообщения, контролируемое соборным церковным сознанием, бдительно сохраняет трезвое представление о границах катафатического подхода, твёрдо помнит о непостижимости Божества в Нём Самом, спекулятивные построения, связанные с бесконечностью, не превосходят, так сказать, должной меры и соотносятся с традицией. Но со времени позднего средневековья ситуация в западном христианстве меняется. В богословии всё большую роль начинают играть отвлечённые рациональные построения (например, Николая из Кузы) с одной стороны, и в высшей степени нетрезвые мистические откровения — с другой (например, Мейстер Экхарт, Я. Беме и др). И у обеих этих линий всегда есть общий предмет для рассуждений: бесконечность. Поэтому возникающие в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисления совершенно неслучайны: почва для этих всходов уже подготовлена несколькими веками многообразных спекуляций о бесконечном. В то же время, дифференциальное и интегральное исчисления входят в науку достаточно «революционно», заглушая победными сообщениями о решении всё новых задач негромкие голоса скептиков, безуспешно пытающихся напомнить об апориях и парадоксах, неотделимых от понятия актуально бесконечного (Б.Паскаль, Дж. Беркли).

Однако собственно катафатики бесконечного сразу не получается. Три века дифференциальное и интегральное исчисления остаются, скорее, просто методом, чем строгой научной теорией: есть алгоритмы, но нет понимания. Нет, в частности, и строгой теории действительного числа. Положение начинает меняться только во второй половине XIX столетия. Предлагаются, в частности, несколько конструкций числового континуума — и все они используют актуальную бесконечность. Наконец, с 70-х годов XIX века Г.Кантор начинает публиковать свои статьи по теории множеств, которая должна была стать именно наукой (арифметикой, анализом) бесконечного. В бесконечном, которое до этого выступало как единое, непознанное начало, действительно проводятся некоторые важные различения. Кантор выделяет: Абсолют — бесконечное в Боге, трансфинитное — бесконечное в сотворённом мире, и трансфинитные числа — предмет его теории, арифметика бесконечного. Он трезво формулирует (вначале), что наука не занимается Абсолютом, предметом богословия. По поводу бесконечного в природе у Кантора были некоторые научные гипотезы, которые, однако, никогда и никем не были проверены[143]. Оставались только трансфиниты, теория множеств. Здесь с самого начала были обнаружены серьёзнейшие парадоксы. Один из них — парадокс Бурали-Форти (1897) — показывал противоречивость самого понятия шкалы всех порядковых чисел (ординалов). Кантор пытается «вытолкнуть» этот парадокс за границу теории множеств новым различением: констистентных и неконстистентных множественностей. Теория множеств по определению занимается только консистентными множественностями, т. е. такими, которые «можно мыслить без противоречия». А множество всех ординалов — неконсистентно… Но остаётся вопрос: а как проверять бесконечное множество на консистентность? Почему мы уверены, что даже самое простое бесконечное множество N = {1,2,3….} есть консистентное множество (Р.Дедекинд)? Ответов на это получено не было…