Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

(8.12)

Будь жидкость неидеальной, а система отсчета подвижной, мы бы намучились с этим тензором. Из-за напряжений ненулевые внедиагональные элементы перестали бы быть нулевыми, да и диагональ усложнилась бы, так как давление в разные стороны может быть разным. Но мы и без этого хорошо напрягаем себе мозги. Поэтому остановимся на простой и понятной формуле (8.12), в которой плотность энергии значится в левом верхнем углу, а давление (одинаковое во всех направлениях) — на диагонали. Как ρ, так и p могут зависеть от xµ, так что у нас достаточно данных. А с помощью идеальной жидкости можно описать планеты, звезды и даже темную материю, заполняющую пространство.

Уравнение Эйнштейна

Чтобы обобщить гравитацию Ньютона с точки зрения теории относительности, нам нужно придумать уравнение, которое свяжет метрику пространства-времени с тензором энергии-импульса. Мы должны сделать новый шаг в деле унификации, о которой мы говорили, связывая энергию частицы с ее импульсом. В общей теории относительности гравитация создается не только массой, но и различными формами энергии, давлением, напряжением и другими величинами.

Так как же нам быть? И gµν, и Tµν — тензоры с двумя нижними индексами, да еще и симметричные (gµν = gνµ и Tµν = Tνµ). Поэтому в качестве первой догадки представим себе, что они пропорциональны друг другу:

gµν = αTµν. (8.13)

Здесь α — некий коэффициент пропорциональности. В любых выражениях с тензорами с обеих сторон должны быть одинаковые свободные индексы, иначе мы не сможем говорить о равенстве.

На самом деле эта идея довольно глупая. Но мы хотим посмотреть на то, как работает физик-теоретик. В его голове постоянно крутятся мысли: глупые тоже приходят, но не задерживаются надолго. Мы можем сразу сказать, что наше предположение не может быть верным, поскольку в пустом пространстве Tµν = 0 (так сокращенно записываются тензоры, все элементы которых равны 0), но метрика gµν не может быть нулевой. В пустом пространстве, а точнее при отсутствии гравитации, мы должны получить метрику Минковского.

Давайте подумаем. Выражение (8.13) законно с математической точки зрения, так как оно уравнивает два симметричных двухиндексных тензора. Однако оно не имеет физического смысла, ведь из него следует, что тензор энергии-импульса каким-то образом создает метрику, то есть пространство-время, а мы хотим, чтобы он его искривлял. В отсутствие источников гравитации (Tµν = 0) пространство-время может быть плоским, но стоит в нем появиться планете или звезде, оно должно искривиться[25].

Когда производная функции отлична от нуля, ее график искривляется. Следовательно, тензор энергии-импульса должен влиять не на саму метрику, а на ее производные. В главе 4 мы обсуждали гравитационные поля, которые Лаплас использовал для осмысления механики Ньютона. В этом контексте сила тяготения зависит не от потенциала поля, но от его производной. Поэтому в новом, релятивистском контексте следует считать метрический тензор грубым аналогом гравитационного потенциала: силы должны определяться не самим тензором, а его производными.

Таким образом, мы ищем величину, которая представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами (так что мы можем считать его пропорциональным Tµν), который мы можем вывести из метрики и ее производных.

(8.14)

Но у нас уже есть почти то, что нам нужно: тензор кривизны Римана, который строится на основе производных метрики. Проблема в том, что у него слишком много индексов (которые теперь мы обозначаем греческими буквами, так как исследуем пространство-время). Но есть и другой тензор — тензор Риччи, который можно получить, суммируя тензор Римана по первому и третьему индексам. Тензор Риччи получил название в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, который заложил основы тензорного исчисления, а также создал большую часть математического аппарата современной геометрии Римана. В 1900 году Риччи вместе со своим бывшим учеником Туллио Леви-Чевитой написал очень важную статью, из которой Эйнштейн почерпнул много знаний о тензорах. По неизвестной причине под этой статьей он поставил имя Дж. Риччи (без Курбастро), и это странно, поскольку все остальные статьи он подписывал полным именем. Может быть, Риччи подозревал, что этот тензор заслуживает краткого и запоминающегося названия.

Если использовать правило Эйнштейна, тензор Риччи можно записать так:

Rµν = Rλµλν = R0µ0ν = R1µ1ν = R2µ2ν = R3µ3ν. (8.15)

Мы поменяли местами греческие буквы, но это не страшно: в конце концов, мы можем выбрать, какие хотим. Главное, чтобы соблюдалось общее правило: в обеих частях выражения должен быть один и тот же набор свободных индексов. Тензор Риччи также является симметричным: Rµν = Rνµ.

Теперь похоже, что мы близки к цели. Вновь обозначив коэффициент пропорциональности как α, запишем следующее уравнение:

Rµν = αTµν. (8.16)

Это выражение намного более разумно, чем (8.13). Оно соответствует общей форме (8.14) и приравнивает симметричный двухиндексный тензор, составленный из метрики и ее производных, к тензору энергии-импульса. В пустом пространстве при Tµν = 0 оно дает Rµν = 0, что определенно соответствует плоскому пространству-времени Минковского (в котором все элементы тензора Римана, а значит, и тензора Риччи равны нулю).

Это выражение настолько разумно, что в октябре 1915 года Эйнштейн предложил его в качестве возможной основы общей теории относительности. Оно почти работает. Почти, но все-таки не совсем.

Проблема возникла с одним хорошо известным нам свойством энергии: она сохраняется. В общей теории относительности это довольно трудный вопрос, поскольку энергия может передаваться от материи к кривизне пространства-времени и обратно. Такие трансформации накладывают жесткие ограничения на изменение тензора энергии-импульса во времени. А тензор Риччи таким ограничениям не соответствует. Поэтому, если считать выражение (8.16) верным, следует признать, что энергия не сохраняется. В противном случае едва ли удастся найти такую метрику, при которой оно будет выполняться.

Решение этой проблемы само по себе несложно, но, к сожалению, требует более глубоких познаний в области тензоров и кривизны. Их обсуждение вынесено в приложение Б. Основная хитрость тут в том, что нужно использовать обратную метрику, gµν, которая связана с метрикой обычной, но имеет верхние индексы вместо нижних. (Если вы знаете о матрицах, то это не что иное, как матрица, обратная метрике.) При помощи обратной метрики можно определить функцию пространства-времени — скаляр кривизны Риччи:

R = gµνRµν. (8.17)

Суммирование по µ и ν в правой части полностью устраняет свободные импульсы. Поэтому при умножении на метрику gµν можно получить отдельный симметричный двухиндексный тензор, построенный на основе метрики и ее производных. Затем, как это сделал Эйнштейн в ноябре 1915 года, можно попробовать отыскать сочетание Rµν и Rgµν, которое обладает нужными свойствами, то есть остается пропорциональным Tµν без нарушения закона сохранения энергии. Существует единственно верный ответ, который сегодня называется уравнением Эйнштейна:

(8.18)

В левой части находится тензор Эйнштейна. Можно придумать для него новый символ, но выражение и само по себе несложно: это тензор Риччи и скаляр кривизны. Это окончательная форма уравнения поля в общей теории относительности, в котором представил его Эйнштейн на докладе Прусской академии наук 25 ноября 1915 года.[26]