Апология математики (сборник статей) - Владимир Андреевич Успенский

Ознакомительный фрагмент

числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 г. старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Так Великая теорема стала известна человечеству. Могла ли она не привлечь внимания ореолом романтической тайны, окружавшим её появление? Неочевидность наблюдения гения, соединённая с простотой и наглядностью, короткая запись на полях книги Диофанта, утверждение о наличии «поистине удивительного» доказательства, тщетность попыток обнаружить это доказательство… Всё это чем-то напоминало записку из бутылки, выловленной в океане, с точными, но частично размытыми водой указаниями о месте, где зарыт клад.

Лишь через 100 лет дело сдвинулось с мёртвой точки: в 1770 г. великий математик Эйлер доказал теорему Ферма (т. е. отсутствие троек Ферма) для показателя 3. Ещё через 55 лет было установлено отсутствие троек Ферма для показателя 5, затем, в 1839 г., – для показателя 7. Читатель, несомненно, обратит внимание и на медленность продвижения вперед, и на его ускорение. Но как бы ни убыстрялся прогресс, речь шла об отдельных показателях, тогда как Великая теорема в своём полном объёме провозглашала отсутствие троек Ферма для любого целочисленного показателя, начиная с трёх. Впрочем, с самого начала было очевидно, что если тройка Ферма найдётся для какого-то показателя kn, кратного числу n, то и для самого n найдётся тройка Ферма.

Действительно, если a, b, c служат тройкой Ферма для kn, то это значит, что akn + bkn = ckn, или (ak)n + (bk)n = (ck)n, так что тройка чисел ak, bk, ck служит тройкой Ферма для показателя n. Из полученных к 1839 г. результатов следовало поэтому, что Великая теорема доказана для бесконечных рядов чисел 3, 6, 9, 12, 15, 18, …; 4, 8, 12, 16, 20, 24, …; 5, 10, 15, 20, 25, 30, …; 7, 14, 21, 35, 42, 49, ….

Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание проблемы Ферма. В XIX – начале ХХ в. несколько выдающихся исследователей внесли свой вклад в изучение этой проблемы. Из них мы выделим двух немецких математиков – Куммера и Линдемана.

Эрнст Эдуард Куммер (Ernst Eduard Kummer, 1810–1893), создатель алгебраической теории чисел, начал заниматься проблемой Ферма в 1837 г. Он впервые предложил некие общие методы, позволившие ему, в частности, доказать теорему Ферма для всех показателей в пределах первой сотни, а стало быть, как мы знаем, и для всех показателей, делящихся на какое-нибудь число в пределах первой сотни. А главное, он проложил дорогу для дальнейших исследований.

Среди учеников Фердинанда Линдемана (Carl Louis Ferdinand von Lindemann,1852–1939) были и великий математик Давид Гильберт, и великий геометр Герман Минковский (создатель геометрической теории чисел и той четырёхмерной геометрической модели, которая легла в основу теории относительности). Сам Линдеман совершил одно из величайших открытий в истории математики – доказал, что проблема квадратуры круга, о которой мы расскажем в главе 5, не имеет решения. Но Линдемана мы назвали здесь по совсем иной причине, нежели Куммера. Дело в том, что у него была жена. Ей оказалось недостаточно той всемирной славы, которую принесло мужу его открытие (вспомним «Сказку о рыбаке и рыбке»), и она заставляла его доказывать Великую теорему Ферма. Он страдал, но вынужден был подчиняться. Результатом были недостойные такого замечательного математика публикации с ошибочными доказательствами. Последнее из них относится к 1907 г., а его 66-страничная публикация состоялась в 1908 г. (читатель вскоре поймёт, зачем нам нужны эти даты). Вот уж точно «Не корысти ради, а токмо волею пославшей мя жены», как говаривал в погоне за 12 стульями окарикатуренный Ильфом и Петровым несчастный иерей Фёдор Иванович Востриков. («Бывают странные сближения»[25].) Корыстный мотив возникнет хотя и близко по времени, но всё же позже.

Вскоре в среде математиков появилось ощущение, что доказать теорему Ферма невозможно. (Предпринимались даже попытки эту невозможность обосновать.) Заниматься этой проблемой среди профессионалов сделалось почти так же неприлично, как изобретать вечный двигатель. Я ещё помню, как, поступив в 1947 г. на мехмат, почувствовал это разлитое в воздухе ощущение. (Впрочем, ходили слухи, что, не афишируя того, проблемой Ферма всерьёз занимается Александр Осипович Гельфонд, один из крупнейших мировых специалистов по теории чисел и один из очень немногих советских математиков, удостоенных статьи в Британской энциклопедии[26].)

И раз уже профессионалы заниматься проблемой Ферма не желали, в назидание (или в наказание) им за неё взялись дилетанты – так называемые ферматисты.

Всё началось с того, что Пауль Вольфскель (Paul Friedrich Wolfskehl), родившийся 30 июня 1856 г. в Дармштадте в состоятельной и образованной семье, в 1880 г. заметил у себя симптомы рассеянного склероза. Для истории теоремы Ферма это имело два последствия. Во-первых, Вольфскель, в том году получивший в Гейдельберге степень доктора медицины, понял, что практикующего врача из него не выйдет, поскольку в недалёком будущем он окажется прикован к инвалидному креслу-каталке. Поэтому он перешёл от занятий медициной к занятиям математикой, которой вскоре весьма увлёкся. Он изучал математику в Бонне и Берлине, где слушал лекции того самого знаменитого Куммера (сам читал какие-то лекции, опубликовал несколько математических статей). Но главным увлечением его сделалась теорема Ферма. Говорят, чтение работы Куммера, ей посвящённой, в последний момент спасло Вольфскеля от самоубийства, совершить каковое он намеревался из-за неудач на любовном фронте и безуспешных попыток доказать Великую теорему. Как бы то ни было, именно занятия проблемой Ферма скрасили последние годы жизни Вольфскеля, к тому времени почти полностью парализованного. Итак, первым следствием болезни стало увлечение проблемой Ферма. А вторым – решение родственников, обеспокоенных прогрессирующей неподвижностью Пауля, подыскать наконец ему жену. (Вот уже второй раз в истории долгой осады проблемы Ферма возникает тема жены. Возникнет и в третий.) Предполагалось, что жена будет присматривать за больным. В супруги ему подобрали 53-летнюю старую деву. Брак был заключён 12 октября 1903 г. Родственники крупно просчитались: новобрачная оказалась… как бы это помягче сказать? Короче, она оказалась сущей ведьмой и сумела превратить жизнь мужа в подлинный ад. Поэтому в январе 1905 г. он изменил свою последнюю волю, завещав значительную часть состояния, а именно 100 тысяч марок, научному обществу в Гёттингене для награждения того, кто первым докажет Великую теорему Ферма[27].

Пауль Вольфскель умер 13 сентября 1906 г. А 27 июня 1908 г. Королевское научное общество в Гёттингене (Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen) обнародовало условия конкурса (из девяти пунктов), считавшегося с того дня открытым. Они были затем опубликованы в нескольких научных журналах. Современный читатель отыщет их в увлекательной и доступной самой широкой аудитории книге