Пифагор и его школа - Леонид Яковлевич Жмудь

научным последствиям акустического эксперимента Пифагора. Как и можно было ожидать, он повлек за. собой целую серию новых, более сложных опытов. Описание одного из них сохранилось у Аристоксена. По его свидетельству, пифагореец Гиппас «приготовил четыре медных диска таким образом, что их диаметры были равны, а толщина первого диска была на одну треть больше второго, в полтора раза больше третьего и в два раза больше четвертого. Когда по ним ударяли, то получалось некое созвучие» (фр. 90).

Мы видим, что Гиппас изготовил диски в соответствии, с той же «музыкальной» пропорцией (12:9:8:6) и получил те же интервалы, что и Пифагор. Тем самым он показал, что найденные соотношения не зависят от звучащего инструмента, а носят общий характер. Заметим, что перед нами пример последовательных экспериментов на разном материале и со специально созданными для этого предметами. Наличие у греков исследований подобного типа отрицал даже такой знаток античной науки, как У. Гейдель{133}, хотя в своей книге о ней он посвятил экспериментам целую главу.

Соотносил ли уже Пифагор длину струны с частотой ее колебаний, сказать очень трудно. Вполне вероятно, что он ограничился установлением зависимости высоты тона от длины струны. Гиппас, повторяя опыт с теми же пропорциями, должен был все же интересоваться не только математической, но, и физической стороной вопроса. Его опыт демонстрирует, что частота колебаний дисков пропорциональна их толщине. Была ли эта зависимость понятна самому Гиппасу?

Наши источники позволяют сказать, что этот вопрос, как и в целом физика звука, безусловно интересовали Гиппаса. По словам Теона Смирнского, Лас из Гермионы и Гиппас исследовали «быстрые и медленные движения, [производящие] созвучия» (18 А 13). Далее у Теона описывается эксперимент с сосудами, один из которых был пустым, а три других — заполненными водой соответственно на половину, четверть и треть. Когда ударяли по пустому и одному из заполненных сосудов, они давали созвучия октавы, кварты и квинты.

Если производить опыт так, как его описывает Теон, нужный результат не будет достигнут. Соответствующие интервалы могут быть получены в том случае, если будет резонировать столб воздуха, находящийся внутри сосуда{134}. Поскольку в псевдоаристотелевских «Проблемах» (конец IV в. до н. э.) как само собой разумеющееся говорится; что два сосуда — пустой и наполовину полный — дают при звучании октаву, можно полагать, что Гиппасу все-таки удался этот опыт, пусть даже Теон не очень верно передал его суть.

На рубеже V–IV вв. до н. э. Архит, с похвалой отзываясь о своих предшественниках (по всей видимости, пифагорейцах), которые занимались математическими науками, говорил, что они передали нам ясное знание в геометрии, арифметике, астрономии и в особенности в музыке. «Прежде всего; — продолжал Архит, — они установили, что не может быть звуки без того, чтобы тела; не ударялись друг о друга. Из звуков, которые мы ощущаем, те, что от удара движутся быстро и сильно, кажутся нам высокими, а те, которые движутся медленно и слабо, — низкими» (47 В 1).

Из слов Архита явствует, что он еще не вполне отчетливо различал частоту колебаний и скорость распространения самого звука в воздухе, которая, как известно, постоянна. В том, что предшественники Архита, в числе которых, по всей вероятности, был и Гиппас, путали эти понятия, нет ничего удивительного: на первых порах было отнюдь непросто. уяснить, что увеличивающаяся частота колебаний не влечет за собой такое же увеличение скорости звука. Эта ошибка тем более понятна, что звук представляли тогда в виде совокупности следующих друг за другом «толчков» воздуха, который, естественно, должен был бы двигаться быстрее с увеличением частоты колебаний. Так или иначе, можно заключить, что Типпас уже имел определенное представление о частоте колебаний, хотя и не столь ясное, как это представлялось Архиту. Впрочем, правильная точка зрения не заставила себя долго ждать. Во введении к трактату Евклида «Разделение канона», который, по мнению большинства специалистов, резюмирует предшествующую пифагорейскую теорию музыки{135}, мы читаем: «Итак, все ноты происходят от некоторого существующего колебания, а оно невозможно без предшествующего движения. Из движений же некоторые бывают более частыми, a некоторые — более редкими [прерывистыми], и более частое производит высокие ноты, а более. редкое — низкие. Необходимо, следовательно, чтобы существовали высокие ноты, поскольку они состоят из более частых и многочисленных движений, а с другой стороны — низкие, поскольку они слагаются из менее частых и малочисленных движений» (Sect; can., prooem.). Эта же точка зрения изложена и в ряде перипатетических трактатов этого времени и впоследствии стала общепринятой.

По свидетельству Боэция (18 А 14), к найденным Пифагором трем интервалам Гиппас добавил еще два: двойную октаву (4: 1) и дуодециму, состоящую из октавы и квинты (3: 1). Именно эти пять интервалов, как утверждал Клавдий Птолемей, пифагорейская теория признавала созвучными, оставляя в стороне другие, например, ундециму (8: 3). Поскольку Архит признавал еще и терции — большую (5: 4) и уменьшенную малую (7:6) — ясно, что у Птолемея речь идет о пифагорейской теории музыки V в. до н. э.

Ксенократ, как мы помним, говорил, что Пифагор исследовал то, при каких обстоятельствах интервалы бывают созвучными. Какие же и это обстоятельства и что представляла собой раннепифагорейская теория музыки?

На основании свидетельств Птолемея и более ранних источников ее можно представить следующим образом{136}. Тона одинакового напряжения сравниваются в ней с равными числами, а разного напряжения — с неравными. Все числа при этом должны быть целыми. Тона разного напряжения делятся на симфонные (созвучные) и диафонные, которые хотя и признаются музыкальными, к созвучным не. относятся. Симфонные тона сливаются вместе при одновременном появлении, а диафонные — нет. С симфонными интервалами сравниваются числа, состоящие друг с другом в двух типах отношений: эпиморных и кратных. Эпиморным называется отношение чисел а и b, в котором а равно b плюс часть b: a=b+b/n, следовательно, а: b= (n+1): п.

Этому соотношению удовлетворяют, например, кварта (4:3) и квинта (3:2). Кратным же отношением является такое, при котором b является частью а: a=nb, следовательно, а: b=n: 1.

Под это соотношение, которое пифагорейцы признавали наилучшим, подходит, например, октаву (2:1) или дуодецима; (3: 1). В. то же время ундецима (8: 3) не является созвучным интервалом, так как ее отношение не является ни эпиморным, ни кратным.

При разделении интервалов использовались арифметическое и гармоническое средние, т. е. интервалы делились не на равные части. Например, октава делилась на квинту и кварту, разница между которыми составляла целый тон. Геометрическое же среднее в музыке не применялось, из-за того что оно могло привести к иррациональным величинам (a=*bc).

Из