Пифагор и его школа - Леонид Яковлевич Жмудь

математики в Греции, и удивительная быстрота, с которой она сформировалась, — ведь от Фалеса до Евклида не прошло и трех веков!

Уже в середине XIX в. было принято считать, что греки восприняли начала математической науки в Египте. Эти взгляды были сформулированы окончательно в капитальном труде *. Кантора — главы немецкой школы истории математики: египтяне знали почти все теоремы, традиционно приписываемые Фалесу и Пифагору; различие между египетской и греческой математикой состояло лишь в методе: индуктивном — у первой и дедуктивном — у второй{76}.

Однако рост сведений о египетской математике, в частности, издание знаменитого папируса Ринда, показавшего очень примитивный характер египетской геометрии, а также критика чрезмерных увлечений Востоком, которая прозвучала со стороны крупнейшего знатока античной мысли Э. Целлера{77}, привели к гораздо более сдержанной оценке достижений египтян и их. влияния на математику греков.

Новое звучание эта проблема приобретает в 30-х гг. XX в., когда в результате дешифровки математических табличек вавилонян впервые появилась возможность непосредственно познакомиться с их результатами в этой области. Уровень вавилонской математики, гораздо более высокий, нежели египетской, и сходство некоторых ее проблем с математикой греков склонили многих ученых к убеждению, что истоки эллинской науки следует искать именно здесь. Эта точка зрения представлена и в переведенных у нас работах известных историков науки О. Нейгебауэра и Б. Л. ван дер Вардена{78}.

Насколько подтверждены фактическим материалом эти гипотезы? Нам представляется, что тезис о прямой преемственности греческой науки от математики Востока должен быть ныне окончательно оставлен. Спорить можно лишь о степени использования некоторых данных, тем или иным путем дошедших до греков, и об их роли в становлении греческой науки. В раннегреческой науке действительно использовались отдельные сведения, пришедшие с Востока, но масштабы этих заимствований никак не следует преувеличивать, а их влияние на развитие собственно математических изысканий вообще едва различимо.

Почти все достоверные сведения о египетских заимствованиях относятся к практической математике, причем к арифметике, а не к геометрии. Например, в одном из текстов говорится о дробях типа 1/n и методе последовательного удвоения, которые прямо названы «египетскими»{79}. Очевидно, что эти примитивные арифметические примеры заимствовали и применяли отнюдь не ученые люди, а скорее купцы или мореплаватели, куда более тесно связанные с Востоком, чем греческие мыслители. Хотя и таких примеров крайне мало, эта сторона культурных контактов представляется во всяком случае более плодотворной почвой для поиска заимствований, чем путешествия на Восток ученых. Даже в тех случаях, когда о них достоверно известно, возможность прямых «научных контактов» кажется очень маловероятной.

Языковой барьер был здесь едва ли не самым главным препятствием: чтобы разобраться в вавилонской или египетской математике, нужно было изучать чужой язык и сложнейшую письменность. На Востоке писцов, занимавшихся вычислениями, обучали долгие годы — мог ли грек освоить их за время недолгой поездки? Кроме того, общеизвестно упорное нежелание греков учить чужие языки и вникать в суть чужих учений{80}. Оно ярко проявляется и в эпоху эллинизма, когда контакты греков с Востоком были гораздо интенсивней, чем раньше: недаром египетским, вавилонским или древнееврейским ученым и философам приходилось писать по-гречески, если они хотели быть доступными для греческой образованной публики. Чужой язык мог выучить человек, которому он был необходим для профессиональной деятельности: лекарь или наемник, служивший при дворе восточного царя, купец, часто бывавший в восточных странах, или греческий колонист, живший в Египте и вынужденный общаться с местным населением. Но даже в позднее время нам неизвестен ни один греческий автор, который бы знал египетский язык и письменность, причем это касается и тех, кто действительно побывал в этой стране и оставил о ней сочинения{81}. При всем желании нельзя обнаружить ничего египетского в тринадцати книгах Евклида, а ведь он прожил в Александрии большую часть жизни. То же самое можно сказать и о других математиках III в. до н. э. — Архимеде, Эратосфене, Аполлонии из Перги, каждый из которых в принципе мог ознакомиться с математикой Востока.

Нет никаких сведений и о том, чтобы кто-нибудь из греческих ученых знал аккадский язык, на котором написаны математические тексты Вавилона. Отчетливые следы заимствования вавилонских вычислительных приемов и сведений видны лишь с середины II в. до н. э.{82}, уже после того, как появились труды некоторых вавилонских астономов, написанные по-гречески. Фигура же греческого ученого, изучавшего в VI–V вв. до н. э. египетскую иероглифику или аккадскую клинопись в надежде проникнуть в тайны чужих знаний, остается лишь плодом научного воображения и не имеет отношения к реальным контактам между Востоком и Западом в ту эпоху.

Факт путешествия Фалеса в Египет бесспорен, но из него вовсе не следует вывод о его заимствованиях в области математики. Что нам известно о математике Фалеса? О двух теоремах, которыми он занимался, упоминает перипатетик Евдем Родосский, автор нескольких ценных трудов по истории греческой науки (фр. 134, 135). О двух других говорит Прокл, автор весьма поздний (V в.), но черпавший свои сведения из сочинения того же Евдема. Еще одну упоминает писательница I в. Памфила. Эту традицию нельзя отвергнуть как позднее изобретение: уже в V в. до н. э. было хорошо известно о занятиях Фалеса математикой, иначе бы Аристофан не стал называть его в своих комедиях великим геометром (Облака. 180; Птицы. 1009). По всей вероятности, Евдем узнал о теоремах Фалеса из сочинения софиста Гиппия Элидского (вторая половина V в. до н. э.), на которого он сам ссылается (фр. 133).

Согласно сведениям Евдема, Фалес доказывал, что диаметр делит круг пополам, а угол, опирающийся на диаметр, — прямой, утверждал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, открыл равенство углов, образующихся при пересечении двух прямых и, наконец, доказал теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Что из. этого можно соотнести с восточной математикой? — Ровным счетом ничего. Конечно же, Фалесу не нужно было ездить в Египет, чтобы убедиться в том, что диаметр делит круг пополам: этот элементарный факт интуитивно ясен любому ребенку, который делит на две части лепешку или круглый кусок сыра. В равенстве накрест лежащих углов легко удостовериться способом наложения, так же как и в равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Отмечено, что теоремы, приписываемые Фалесу, «либо прямо связаны с проблемой симметрии, и доказываются взаимным наложением, либо такого рода, что первый шаг доказательства явно основан на соображении симметрии, а второй, который приводит доказательство к выводу, является простым сложением и вычитанием»{83}.

Греки отнюдь не утруждали себя поисками материала для доказательства — они начали с таких вещей,