Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред

Если мы отбросим fвязк, то в уравнении (40.4) все нам из­вестно, за исключением выражения для ускорения. Может показаться, что формула для ускорения частиц жидкости должна быть очень простой, ибо очевидно, что если v — ско­рость частицы в некотором месте жидкости, то ускорение ее будет просто равно дv//дt. Но это совсем неверно, и по довольно хитрой причине. Производная дv/дt выражает изменение ско­рости v (х, у, z, t) в фиксированной точке пространства. А нам нужно знать, как изменяется скорость данной капельки жидко­сти. Представьте, что мы пометили одну капельку воды цветной краской и можем наблюдать за ней. За маленький интервал времени At эта капелька продвинется в другое положение. Если капелька движется по некоторому пути, изображенному на фиг. 40.4, то за промежуток Dt она из точки Р1переме­стится в точку Р2.

Фиг. 40.4. Ускорение частицы жидкости.

Фактически в направлении оси х она пере­двинется на расстояние vxDt, в направлении оси у — на рас­стояние vуDt, а в направлении оси z — на расстояние vzDt. Мы видим, что если v (х, у, z, t) — скорость частицы в момент t, то скорость той же самой частицы в момент t+Dt представ­ляет величину v (х+Dx, у+Dy, z+Dz, t+Dt), причем

Dx=vxDt, Dy=vyDt и Dz=vzDt.

Из определения частных производных [вспомните уравнения гл. 2, вып. 5] мы с точностью до членов первого порядка получаем

Ускорение же Dv/Dt будет равно

Считая С вектором, это можно записать символически:

Обратите внимание, что, даже когда дv/дt=0, т. е. когда скорость в данной точке не изменяется, ускорение все же останется. Примером может служить вода, текущая с постоян­ной скоростью по кругу: она ускоряется даже тогда, когда ско­рость в данной точке не изменяется. Причина, разумеется, состоит в том, что скорость данной капельки воды, которая первоначально находилась в одной точке, моментом позднее будет иметь другое направление — это центростремительное ускорение.

Остальная часть нашей теории — чисто математическая: нахождение решения уравнения движения, полученного под­становкой ускорения (40.5) в (40.4), т. е.

где слагаемое с вязкостью уже выброшено. Воспользовав­шись известным тождеством из векторного анализа, это уравнение можно переписать по-другому:

Если определить новое векторное поле Wкак ротор скорости v, т. е.

то векторное тождество можно записать так:

а наше уравнение движения (40.6) примет вид

Вы можете проверить эквивалентность уравнений (40.6) и (40.8), расписывая их по компонентам и сравнивая их, восполь­зовавшись при этом выражением (40.7).

Если Wвсюду равно нулю, то такой поток мы называем безвихревым (или потенциальным). В гл. 3, § 5 (вып. 5), мы уже определяли величину, называемую циркуляцией векторного поля. Циркуляция по любой замкнутой петле в жидкости равна криволинейному интегралу от скорости жидкости в дан­ный момент времени вокруг этой петли:

Циркуляция на единицу площади для бесконечно малой петли по теореме Стокса будет тогда равна СXv. Таким образом, W представляет собой циркуляцию вокруг единичной площади (перпендикулярной направлению W). Кроме того, ясно, что если в любое место жидкости поместить маленькую соринку (именно соринку, а не бесконечно малую точку), то она будет вращаться с угловой скоростью W/2. Попытайтесь доказать это. Вы можете также попробовать доказать, что для ведра воды на вращающемся столике W равна удвоенной локальной угловой скорости воды.

Если нас интересует только поле скоростей, то из наших уравнений можно исключить давление. Взяв ротор обеих частей уравнения (40.8) и вспомнив, что r — величина постоян­ная, а ротор любого градиента равен нулю, а также использо­вав уравнение (40.3), находим

Это уравнение вместе с уравнениями

W=СXv (40.10)

и

С·v=0 (40.11)

полностью описывают поле скоростей v. На языке матема­тики — если в некоторый момент мы знаем W, то мы знаем ротор вектора скорости и, кроме того, знаем, что его дивер­генция равна нулю, так что в этих физических условиях у нас есть все необходимое для определения скорости v по­всюду. (Все это в точности напоминает нам знакомые условия в магнетизме, где С·B=0 и СXB=j/e0c2.) Таким образом, данная величина W определяет v точно так же, как j опреде­ляет В. Затем из известного значения v уравнение (40.9) даст нам скорость изменения W, откуда мы можем получить новую W в следующий момент. Используя снова уравнение (40.10), найдем новое значение v и т. д. Теперь вы видите, как в эти уравнения входит весь механизм, необходимый для вычисления потока. Заметьте, однако, что эта процедура дает только ско­рости, а всю информацию о давлении мы потеряли.

Отметим особое следствие нашего уравнения. Если в ка­кой-то момент времени t повсеместно W=0, то дW/дt тоже исче­зает, так что W всюду останется равной нулю и в момент t +Dt. Отсюда следует, что поток все время остается безвихре­вым. Если вначале поток не вращался, то он так никогда и не начнет вращаться. При этом уравнения, которые мы должны решать, таковы:

С·v=0, СXv=0.

Они в точности напоминают уравнения электростатики или магнитостатики в пустом пространстве. Позднее мы вернемся к ним и рассмотрим некоторые частные задачи.

§ 3. Стационарный поток; теорема Бернулли

Вернемся к уравнениям движения (40.8), но ограничимся теперь приближением «стационарного» потока. Под стационарным потоком я подразумеваю поток, скорость которого в любом месте жидкости никогда не изменяется. Жидкость в любой точке постоянно заменяется новой жидкостью, движущейся в точности таким же образом. Кар­тина скоростей всегда выглядит одинаково, т. е. v представ­ляет статическое векторное поле. Как в магнитостатике мы рисовали силовые линии, так и здесь можно начертить линии, которые всегда касательны к скорости жидкости (фиг. 40.5).

Фиг. 40.5. Линии тока ста­ционарного потока.

Эти линии называются «линиями тока». Для стационарного потока они действительно представляют реальные пути частиц жидкости. (В нестационарном потоке картина линий тока меняется со временем, однако в любой момент времени она не представляет пути частиц жидкости.)

Стационарность потока вовсе не означает, что ничего не происходит — частички жидкости движутся и изменяют свои скорости. Это означает только то, что дv/дt=0. Если теперь мы скалярно умножим уравнение движения на v, то слагаемое v·(WXv) выпадет и у нас останется только

Согласно этому уравнению, при малых перемещениях в направ­лении скорости жидкости величина внутри скобок не изме­няется. В стационарном потоке все перемещения направлены вдоль линий тока; поэтому уравнение (40.12) говорит, что для всех точек вдоль линии тока

Это и есть теорема Бернулли. Постоянная, вообще говоря, для различных линий тока может быть разной; мы знаем только, что левая часть уравнения (40.13) постоянна всюду вдоль данной линии тока. Заметьте, кстати, что если стационарный поток безвихревой, т. е. если для него W=0, то уравнение движения (40.8) дает нам соотношение

так что

Оно в точности напоминает уравнение (40.13), за исключением того, что теперь постоянная во всей жидкости одна и та же. На самом деле теорема Бернулли не означает ничего боль­шего, чем утверждение о сохранении энергии. Подоб­ные теоремы о сохранении дают нам массу информации о потоке без детального решения уравнений. Теорема Бернулли на­столько важна и настолько проста, что мне бы хотелось пока­зать вам, как можно ее получить другим способом, отличным от тех формальных вычислений, которые мы только что про­вели. Представьте себе пучок линий тока, образующих трубку тока (фиг. 40.6, а).

Фиг. 40.6. Движение жидкости в трубке.

Поскольку стенки трубки образуются ли­ниями тока, то жидкость через них не протекает. Обо­значим площадь на одном конце трубки через A1, скорость жидкости через v1, плотность через r1 а потенциальную энер­гию через j1. Соответствующие величины на другом конце трубки мы обозначим через A2, v2, r2 и j2. После короткого интервала времени Dt жидкость на одном конце передвинется на расстояние v1Dt, а жидкость на другом конце — на расстоя­ние v2Dt (см. фиг. 40.6, б). Сохранение массы требует, чтобы масса, которая вошла через A1была равна массе, которая