Ричард Фейнман - 6. Электродинамика

Другой способ утверждать то же самое заключается в следую­щем: надо вычислить интеграл U*

это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выра­жение достигает минимума.

Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в ка­честве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем

здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать

Единственный член первого порядка, который будет ме­няться, таков:

Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид

изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняю­щиеся члены, получим интеграл

Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. По­смотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно

Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напраши­вается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегри­руем по х по частям. Это приведет к добавочному дифференци­рованию j по х. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством

Другой способ утверждать то же самое заключается в следую­щем: надо вычислить интеграл U*

это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выра­жение достигает минимума.

Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в ка­честве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем

здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать

Единственный член первого порядка, который будет ме­няться, таков:

Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид

изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняю­щиеся члены, получим интеграл

Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. По­смотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно

Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напраши­вается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегри­руем по x по частям. Это приведет к добавочному дифференци­рованию j по x. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством

Проинтегрированный член равен нулю, так как мы считаем f равным нулю на бесконечности. (Это отвечает обращению h в нуль при t1и t2. Так что наш принцип более точно формули­руется следующим образом: U* для правильного j меньше, чем для любого другого

j(х, у, z), обладающего теми же зна­чениями на бесконечности.) Затем мы проделаем то же с у и с z. Наш интеграл DU* обратится в

Чтобы эта вариация была равна нулю при любом произволь­ном f, коэффициент при f должен быть равен нулю. Значит,

Мы вернулись к нашему старому уравнению. Значит, наше «минимальное» предложение верно. Его можно обобщить, если слегка изменить выкладки. Вернемся назад и проинтегрируем по частям, не расписывая все покомпонентно. Начнем с того, что напишем следующее равенство:

Продифференцировав левую часть, я могу показать, что она в точности равна правой. Это уравнение подходит для того, чтобы провести интегрирование но частям. В нашем интеграле DU* мы заменяем Сj·Сf на —fС2j+С·(fС j) и затем интегри­руем это по объему. Член с дивергенцией после интегрирования по объему заменяется интегралом по поверхности:

А поскольку мы интегрируем по всему пространству, то по­верхность в этом интеграле лежит на бесконечности. Значит, f=0, и мы получаем прежний результат.

Только теперь мы начинаем понимать, как решать задачи, в которых мы не знаем, где расположены все заряды. Пусть мы имеем проводники, на которых как-то распределены заряды. Если потенциалы на всех проводниках зафиксированы, то наш принцип минимума все еще разрешается применять. Интегри­рование в U* мы проведем только по области, лежащей снаружи всех проводников. Но раз мы не можем на проводниках менять j, то на их поверхности f=0, и поверхностный интеграл

тоже равен нулю. Остающееся объемное интегрирование нужно проделывать только в промежутках между провод­никами.

И мы, конечно, снова получаем уравнение Пуассона

Мы, стало быть, показали, что наш первоначальный интеграл U* достигает минимума и тогда, когда он вычисляется в про­странстве между проводниками, каждый из которых находится при фиксированном потенциале [это значит, что каждая проб­ная функция j(х, у, z) должна равняться заданному потенциалу проводника, когда (х, у, z) — точки поверхности проводника]. Существует интересный частный случай, когда заряды рас­положены только на проводниках. Тогда

и наш принцип минимума говорит нам, что в случае, когда у каждого проводника есть свой заранее заданный потенциал, потенциалы в промежутках между ними пригоняются так, что интеграл U* оказывается как можно меньше. А что это за интеграл? Член Сj — это электрическое поле. Значит, интеграл — это электростатическая энергия. Правильное поле и есть то единственное, которое из всех полей, получаемых как градиент потенциала, отличается наименьшей полной энер­гией.

Я хотел бы воспользоваться этим результатом, чтобы решить какую-нибудь частную задачу и показать вам, что все эти вещи имеют реальное практическое зна­чение. Предположим, что я взял два проводника в форме цилин­дрического конденсатора.

У внутреннего проводника потен­циал равен, скажем, V, а у внеш­него— нулю. Пусть радиус внут­реннего проводника будет равен а, а внешнего — b. Теперь мы можем предположить, что распределение потенциалов между ними — любое.

Но если мы возьмем правильное значение j и вычислим

, то должна получиться энергия системы 1/2CV2.

Так что с помощью нашего принципа можно подсчитать и емкость С. Если же мы возьмем неправильное распределение потенциала и попытаемся этим методом прикинуть емкость конденсатора, то придем к чересчур большому значению емкости при фикси­рованном V. Любой предполагаемый потенциал j, не точно совпадающий с истинным его значением, приведет и к невер­ной величине С, большей, чем нужно. Но если неверно выбран­ный потенциал j является еще грубым приближением, то ем­кость С получится уже с хорошей точностью, потому что по­грешность в С — величина второго порядка по сравнению с погрешностью в j.

Предположим, что мне неизвестна емкость цилиндрического конденсатора. Тогда, чтобы узнать ее, я могу воспользоваться этим принципом. Я просто буду испытывать в качестве потен­циала разные функции j до тех пор, пока не добьюсь наиниз­шего значения С. Допустим, к примеру, что я выбрал потен­циал, отвечающий постоянному полю. (Вы, конечно, знаете, что на самом деле поле здесь не постоянно; оно меняется как 1/r.) Если поле постоянно, то это означает, что потенциал ли­нейно зависит от расстояния. Чтобы напряжение на провод­никах было каким нужно, функция j должна иметь вид