Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

+ α′N(d6)}.

Случай 2: K ≤ H.

PUIK ≤ H = K{exp(–rt)αN(d5)} – exp(–dt)S0{1 – N(d3)– α′N(d6)}.

Опционы с рибейтами и американские барьерные опционы. Наименьшим разлагаемым фрагментом барьерного опциона с рибейтом является барьерный опцион без рибейта (оцениваемый с помощью вышеприведенных формул) плюс американский бинарный опцион.

Двойные нокаут-коллы (CDB). Геман и Йор (Geman and Yor, 1996) предлагают новую методологию, основанную на теории отклонений, чтобы обеспечить лапласово преобразование двойного барьерного опциона, который можно инвертировать с помощью приема Гемана–Айделанда. Ниже приведена более ранняя модель Кунитомо–Икеды. Обозначим верхний барьер как HH, а нижний барьер – как HL.

Пусть:

Случай 1: HL < K < HH.

где

In(x) = exp(–2nxδ)(N(hh + 2nδ – x) – N(k + 2nδ – x));

Jn(x) = exp{2x(nδ + hh)}(N(2hh – k + 2nδ + x) – N(hH + 2nδ – x)).

Обратите внимание, что суммы быстро сближаются и –∞ можно заменить на –12, а +∞ – на +12.

Случай 2: K ≤ HL.

где (как и в предыдущем случае)

In(x) = exp(–2nxδ)(N(hH + 2nδ – x) – N(hH + (2n – 1) δ – x));

Jn(x) = exp{2x(nδ + hH)}(N(hH + (2n + 1) δ + x) – N(hH + 2nδ + x)).

Двойные нокаут-путы (PDB)

Случай 1: HL < K < HH.

где

In(x) = exp(–2nxδ)(N(k + 2nδ – x) – N(hh + (2n – 1) δ – x));

Jn(x) = exp{2x(nδ + hh)}(N(hh + (2n + 1) δ + x) – N(2hH – k + 2nδ + x)).

Случай 2: HH ≤ K.

где (как и в предыдущем случае)

In(x) = exp(–2nxδ)(N(hH + 2nδ – x) – N(hH + (2n – 1) δ – x));

Jn(x) = exp{2x(nδ + hH)}(N(hH + (2n + 1) δ + x) – N(2hH + 2nδ + x)).

Ценообразование двойных бинарных опционов. В этой книге автор связал предыдущие формулы для двойных барьерных опционов с ситуациями, когда опционы были глубоко в деньгах (в момент срабатывания триггера выплата становится равной внутренней стоимости). Опционы колл глубоко в деньгах выбирались со страйком, близким к 0.

Моменты остановки и их ожидание. При анализе барьерных опционов автор избегал учета времени остановки, чтобы опираться на интуитивный подход, базирующийся на принципе отражения. В большинстве работ указанное понятие используется при определении цены любого барьерного опциона. Следующая формула представляет собой расчет момента остановки и его математического ожидания.

Пусть, как и раньше, λ = (r – d)/σ – σ/2, а барьер h = 1/σ logH/S0, где H – барьер. Плотность безусловного момента остановки дается без учета дрейфа

и, с учетом дрейфа,

Что касается математического ожидания момента остановки, то это распределение минимума времени выхода τ и времени до экспирации T:

Для двойного барьерного опциона его можно рассчитать так:

h = l/σlogH/S0;

l = l/σlogL/S0.

Следующая формула дает плотность линии остановки (начиная внутри диапазона):

Что касается ее математического ожидания, то пользователь может разбить уравнение:

где

и

Численное стохастическое интегрирование: Пример

Программа Mathematica™

Эта программа иллюстрирует общий метод ценообразования опционов, который получает все большее распространение по мере развертывания войны компьютерных чипов. Автор использовал соответствующие методы интеграции, чтобы найти численное ожидание стохастического интеграла.

(*гомоскедаcтичные составные опционы*)

(*Нассим Талеб*)

gauss[x_]: = Exp[–x^2/2]/(Sqrt[2*Pi]);

Gauss[x_]: = (1 + Erf[x/Sqrt[2]])/2;

St[S_, x_, tl_, sig_]: = S Exp [sig Sqrt[tl] x]

(*вычисление значения по формуле Блэка–Шоулза без дрейфа*)

dl[S_, k_, sig_, tl_]: = (Log[S/k] + sig^(tl)/2)/(sig*Sqrt[tl]);

d2(S_, k_, sig_, tl_]: = (Log[S/k] – sig^2(tl)/2)/(sig*Sqrt[tl]);

call[S_, k_, sig_, tl_]: = S*Gauss[dl[S,k,sig,tl]] – k*Gauss[d2[S,k,sig,tl]]

put[S_, k_, sig_, tl_]: = call[S,k,sig,tl] – (S – k)

(*составной опцион*)

callcallpayoff[S_, k_, kopt_, sig_, x_, tl_, tint_]: = Max[call[S Exp[sig

Sqrt[tint] x], k,sig,(tl – tint)] – kopt,0]

callcall[S_, k_, kopt_, sig_, tl_, tint_]: = NIntegrate[callcallpayoff[S,k,kopt,

sig,x,tl,tint] gauss[x], {x, – 4,4}]

(*любители точных расчетов могут выполнить интегрирование в интервале от –6 до 6*)

(*добавляем дрейф и вперед*).

Литература

Основные книги для трейдеров

Cox, J., & Rubinstein, М.[232] (1985). Option Markets, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.

Это лучшая из всех книг об опционах. Даже через много лет после выхода в свет она остается актуальной. Эту книгу обязательно должен прочесть каждый, кто входит в торговый зал.

Natenberg, S. (1995). Option Volatility and Pricing Strategies (2nd ed.), Chicago: Probus.

Эта книга не перегружена теорией, торговля опционами рассматривается в ней с точки зрения самого обычного биржевого трейдера. Это хороший вводный курс для букраннера и риск-менеджера.

Baird, A. (1994). Option Market Making, New York: Wiley.

Эта работа сложнее книги Натенберга, она предназначена для маркетмейкеров. Читатель найдет в ней основы риск-менеджмента.

Hull, J. (1993). Option Futures and Other Derivative Securities (2nd ed.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.

Ясная, полезная и актуальная книга.

Рекомендуемые книги

Abramowitz, M., & Stegun, N. C. (1970). Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover.

Bachelier, L. (1990). Theorie de la speculation, Annales de l'Ecole Normale Superieure, Paris: Gauthier-Villars.

Beck, P., & Sydsaeter, K. (1991). Economist's Mathematical Manual (2nd ed.), Heidelberg, Germany: Springer Verlag.

Billingsley, P. (1986). Probability and Measure, New York: Wiley.

Bloomfield, P. (1976). Fourier Analysis of Time Series: An Introduction, New York: Wiley.

Brock, W., Hsieh, D., & LeBaron, B. (1991). Nonlinear Dynamics, Chaos and Instability, Boston: MIT Press.

Burghardt, G., Belton, T., Lane, M., Luce, G., & McVey, R. (1991). Eurodollar Futures and Options, Chicago: Probus.

Dana, R. A., & Jeanblanc-Pique, M. (1994). Marchés financiers en temps continu, Paris: Economica.

DeRosa, D. (1992). Options on Foreign Exchange, Chicago: Probus.

DeRosa, D. (1996). Managing Foreign Exchange Risk (2nd ed.), Homewood, IL: Irwin.

Dixit, A., & Pyndick, R; (1994). Investment Under Uncertainty, Princeton, NJ: Princeton University Press.

Dothan, M. (1990). Prices in Financial Markets, New York: Oxford University Press.

Dubins, L., & Savage, L. (1965). How to Gamble If You Must, New York: McGraw-Hill.

Duffie, D. (1988). Security Markets Stochastic Models, New York: Academic Press.

Duffie, D. (1996). Dynamic Asset Pricing Theory, Princeton, NJ: Princeton University Press.

Durett, R. (1991). Probability: