Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

форварды. Арбитраж по процентному паритету (как правило, это первая и часто единственная формула, которую трейдер изучает и в которой нуждается):

F = e(r–rf)tS.

Однако форвард не сразу приносит прибыль и убытки. Оператору приходится ждать расчетного дня, чтобы заработать или выплатить реализованные прибыль/убыток. Легко заметить, что прибыль на годовой форвард превратится в наличные через 1 год, поэтому стоимость номинального актива должна дисконтироваться как облигация с нулевым купоном.

Таким образом, прибыль/убыток, генерируемые форвардной сделкой, должны дисконтироваться с использованием обычной формулы e–rt.

Следовательно, если использовать ΔS в качестве изменяющейся цены спот:

Прибыль/убыток форварда = e–rt e(r – rf)tΔS = e–rftΔS;

Дельта форварда = e–rft.

По иронии судьбы имеют значение только иностранные ставки. Еще более иронично то, что дельта – это дисконтированная иностранная ставка, и это дает некоторый релятивизм в том, что касается хеджирования. Два человека, которые смотрят на один и тот же форвард, должны использовать разные коэффициенты хеджирования в зависимости от своей национальной валюты. В модуле С, посвященном валютной проблеме, этот вопрос рассматривается подробно.

Иностранные валютные пары. Иностранная валютная пара – это контракт на обмен одной валюты на другую в определенную дату в будущем. Для гражданина Америки примером может служить сделка фунт стерлингов/немецкая марка, а для гражданина Германии – фунт стерлингов/доллар. Обычно по этим парам не бывает большого объема торговли, но в силу умножения комбинаций он очень велик. Некоторые трейдеры котируют пары драхма/австралийский доллар или лира/новозеландский доллар, хотя это встречается не так часто.

Пример. Допустим, есть валюта 1 и валюта 2 со спотом, выраженным в единицах валюты 2 за валюту 1. Следовательно, форвард:

F = e(r1 – r2) tS,

где r1 – процентные ставки в валюте 1, а r2 – процентные ставки в валюте 2.

Трейдер имеет дело с валютой, в которой подсчитываются прибыли и убытки, т. к. она определяет, как он будет дисконтировать хедж. У трейдера есть выбор между валютой 1 и валютой 2 в качестве базы дисконтирования. Эта сложность возникает из-за того, что нереализованные прибыли и убытки от торговли в фунтах стерлингов/немецкой марке могут быть выражены как в фунтах стерлингов, так и в немецкой марке. Трейдер не может перевести нереализованные прибыли и убытки в местную валюту, не подвергаясь валютному риску в одной из валют.

Дисконтирование хеджа дало бы нам:

Дельта форварда = e–r(r1 – r2) t,

где r – это либо r1, либо r2, в зависимости от того, что трейдер выберет в качестве якорного курса (валюта, в которой рассчитываются прибыли и убытки).

Акции или фондовый индекс. Для акции или фондового индекса, по которому непрерывно выплачиваются дивиденды (инструмент, которого не существует, но это теоретическое допущение), дельта форварда будет такой же, как и в случае с иностранной валютой, за исключением того, что трейдер использует вместо процентной ставки ставку дивидендов. В результате:

Дельта форварда = e–rt e(r – d)t = e–dt,

где d – дивидендная ставка.

Когда выплата дивидендов не является непрерывной, оператору необходимо использовать точную сумму, выплаченную до даты окончания срока действия инструмента.

Дельта для форвард-форвард

Форвард-форвард можно определить как арифметическую сумму одной длинной и одной короткой позиции в одном и том же инструменте с двумя разными датами. Сложность в расчетах иногда возникает из-за отсутствия эквивалентности сумм (позиция со сроком 2 года по сравнению с 3 годами должна быть правильно дисконтирована, чтобы учесть приведенную стоимость).

Пример. Дельта – это разница между двумя дельтами. Возьмем F1 и F2 в качестве двух форвардов с датами поставки t1 и t2, тогда форвард-форвард будет обозначаться как F(t1, t2).

Дельта F(t1, t2) равна: дельта F(t2) – дельта F(t1).

Прибыль к дате t1 необходимо дисконтировать по иной ставке, чем прибыль к дате t2. Кроме того, это приводит к проблемам интерполяции, которые затрудняют определение точного r1 при t1 и r2 при t2.

Более сложным подходом было бы взвешивание дельт каждого форварда, т. к. они не являются одинаковой позицией.

Дельта для фьючерса

Общая формула для расчета фьючерса:

Фьючерс = ert цена спот,

для непроцентного актива без выплат дивидендов.

Однако существует серьезная разница между фьючерсами и форвардами, т. к. фьючерсы ежедневно пересчитываются с выплатой вариационной маржи контрагентами, что избавляет трейдера от необходимости дисконтировать, в отличие от форварда.

● Для иностранной валюты применяется арбитражная формула по паритету процентных ставок:

Фьючерс = F e(r – rf)t S;

Дельта фьючерса = e(r – rf)t.

● Для иностранной валютной пары расчет производится так же. Предположим, что есть валюта 1 и валюта 2 с ценой спот, выраженной в единицах валюты 2 за валюту 1. Таким образом, форвард будет оцениваться:

Дельта фьючерса = e(r1 – r2) t.

● Для дивидендов по акциям или фондовому индексу при непрерывной выплате дельта форварда аналогична дельте для иностранной валютной пары за исключением того, что используется ставка дивидендов. В результате:

Дельта фьючерса = e(r – d)t, где d – ставка дивидендов.

Когда выплата дивидендов не является непрерывной, используется точная сумма выплат на конечную дату.

Стабильность дельты для линейного дериватива. Дельты фьючерсов, форвардов, свопов и тому подобных инструментов стабильны (потому они и называются линейными деривативами). Их вторые производные почти равны нулю (т. е. не имеют гаммы, за исключением небольшой выпуклости) и имеют только одну значимую первую производную – дельту. Поэтому для компенсации недостатков такой аппроксимации не требуется никаких модификаций, за исключением случаев сильной выпуклости на очень волатильных рынках.

Дельта и барьерные опционы

Часто у дилеров захватывает дух при виде дельты близкой к 10 000 %, когда позиции приближаются к барьеру незадолго до дня экспирации. В некоторых случаях числа перестают умещаться на экране. Этот вопрос более подробно рассматривается в главах 19 и 20, но часто скачок выливается в небольшое приращение.

Ошибочно пытаться хеджировать опцион по дельте в соответствии с этим графиком. Отказ от этой идеи облегчает торговлю барьерными опционами.

Барьерные опционы представляют собой экстремальный случай прерывистости, который очень убедительно демонстрирует недостатки использования модели непрерывного времени для анализа опционов.

Дельта и группировка

■ Группировка – это распределение экспозиций по группам с близкими сроками истечения.

Другим ограничением дельты как меры риска является то, что она не отображает риски в базисе или риск между группами. Дельта в денежном выражении в некоторых случаях является незначительной, когда приходится иметь дело с волатильным базовым активом или продолжительным отделением денежных средств от фьючерса. Поэтому риск-менеджер должен видеть группировку. Это связано с волатильностью и как волатильности (она может влиять на дельты дальних месяцев), так и процентных ставок и стоимости поддержания позиции.

Дельта в стоимости под риском (var)

Читателю необходимо познакомиться с более подробным объяснением концепций стоимости под риском (VAR) в модуле E. Не очень удачным следует назвать такой подход к включению риска деривативов в метод стоимости под риском[141]:

Эквивалентная позиция = текущая стоимость × (дельта × ожидаемое движение + 0,5 гамма (ожидаемое движение)2).

В случае реверсии риска на рис. 7.1 общая экспозиция для такой позиции, в соответствии с VAR, будет равна нулю. Включение гаммы не очень помогло, т. к. она равна нулю.

Некоторые риск-менеджеры идут дальше и добавляют в анализ вегу. Улучшает ли это измерение риска в примере? Конечно, нет – несмотря на все скрытые риски, торговля является вега-нейтральной. Кроме того, измерение риска должно включать в себя теневую гамму, для того чтобы ввести вегу позиции. На момент написания этой книги методы оценки рисков портфелей опционов предполагали переоценку портфеля опционов при смоделированных