Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

Заменяя в определении квазиэллиптического пространства мнимый гиперконус и мнимую квадрику, или одну из этих поверхностей, вещественными, мы получим квазипсевдоэллиптические пространства, частными случаями которых являтся псевдоевклидовы и копсевдоевклидовы пространства.

Группы движений квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических пространств являются квазипростыми группами тройственными по Картану по отношению к группам движений эллиптического и псевдоэллиптического пространств или по отношению к группам движений двух псевдоэллиптических пространств разных индексов.

Вершинные (n-m-1)-мерные плоскости гиперконусов абсолютов n-мерных квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических пространств являются (n-m-1)-мерными эллиптическими пространствами или содержат (n-m-1)-мерное псевдоэллиптическое пространство.

Заменяя эти пространства (n-m-1)-мерными квазиэллиптическими или квазипсевдоэллиптическими пространствами, мы получим n-мерные биквазиэллиптические и биквазипсевдоэллиптические пространства. Группы движений этих пространств являются биквазипростыми группами Ли.

Повторяя эту операцию r-1 раз, мы получим r-квазиэллиптические и r-квазипсевдоэллиптические пространства. Группы движений этих пространств являются r-квазипростыми группами Ли.

Эти пространства были впервые определены Д.М.Ю.Соммервилем в статье "Классификация проективных метрик". В.Бляшке ввел термин "квазиэллиптическое пространство", рассматривая 3-мерное пространство этого типа дефекта 1.

И.И.Железина в своей диссертации, которой я руководил, рассматривала это же пространство и 3-мерные квазипсевдоэллиптические пространства того же дефекта.

Мои ученицы Т.Г.Чахленкова и Е.У.Ясинская изучали n-мерные квазиэллиптические, квазипсевдоэллиптические, r-квазиэллиптические и r-квазипсевдоэллиптические пространства.

Важными частными случаями биквазиэллиптических пространств являются изотропные и галилеевы пространства. Мы получим n-мерное изотропное пространство, если заменим в бесконечно удаленной гиперплоскости n-мерного евклидова пространства метрику (n-1)-мерного эллиптического пространства метрикой (n-1)-мерного коевклидова пространства. Заменяя в той же гиперплоскости метрику эллиптического пространства метрикой (n-1)-мерного евклидова пространства мы получим n-мерное галилеево пространство.

Название изотропного пространства объясняется тем, что такими пространствами являются изотропные гиперплоскости псевдоевклидовых пространств индекса 1.

Пространство-время специальной теории относительности является 4-мерным псевдоевклидовым пространством индекса 1. Пространство- время классической механики Галилея - Ньютона является 4-мерным изотропным пространством.

Э.Картан рассматривал 4-мерное изотропное пространство в связи с классической механикой в своей работе "О многообразиях аффинной связности и обобщенной теории относительности". В заметке "Об одном вырождении евклидовой геометрии" Картан изучал дифференциальную геометрию 2-мерной изотропной плоскости.

Геометрии вещественных квазипростых и r-квазипростых групп Ли посвящена 5-я глава моей книги 1969 г.

В работах многих моих учеников рассматривалась дифференциальная геометрия этих пространств. В частности, Н.Е.Марюкова в своей диссертации рассматривала дифференциальную геометрию галилеева пространства, а позже нашла геометрическое истолкование уравнения Клейна-Гордона в 3-мерном галилеевом пространсве, это истолкование было изложено в нашей совместной статье 1997 г.

Квазипростые и r-квазипростые группы Ли могут быть группами движений и в пространствах над алгебрами: квазиэллиптических и квазипсевдоэллиптических, r-квазиэллиптических и r-квазипсевдо- эллиптических пространств над простыми алгебрами, эллиптических и псевдоэллиптических пространств над квазипростыми алгебрами и т.д. Группы движений дуальных пространств тройственны по Картану по отношению к группам движений одноименных комплексных и двойных пространств.

Изоморфизмы между простыми группами Ли определяют изоморфизмы межды квазипростыми и биквазипростыми группами, которые также связаны с геометрическими интерпретациями соответственных пространств. Такими интерпретациями являются интерпретация А.П.Котельникова многообразия ориентированных прямых 3-мерного евклидова пространства в виде сферы 3-мерного дуального евклидова пространства и интерпретации Железиной многообразий прямых 3-мерных квазиэллиптического квазипсевдоэллиптического пространств дефекта 1 и галиллеева пространства, соответственно, в виде 2-мерных двойной, комплексной индуальной квадратичных евклидовых плоскостей.

Многие мои ученики изучали геометрии пространств над алгебрами, группами преобразований которых являются квазипростые и r- квазипростые группы Ли.

Глава 2. ВРЕМЕНА И ПИСЬМЕНА Времена и эпохи

В Советском Союзе история человечества обычно подразделялась на такие эпохи: 1) Первобытное общество, 2) Рабовладельческий строй, 3) Феодализм, 4) Капитализм, 5) Социализм, 6) Коммунизм.

В этой периодизации не вызывали сомнения только первобытное общество, феодализм и капитализм. Рабовладельческий строй явно относился не к тем народам, которые переживали феодализм и капитализм, да и сами рабовладельческие общества были совершенно разных типов: общества типа древнего Египта и Вавилона и общество типа древней Греции. В цивилизациях древнего Востока мелкие царства наиболее древнего периода были очень похожи на мелкие княжества феодальной Европы, а позднейшие крупные империи Древнего Востока напоминали королевства и империи Европы. С другой стороны греческие демократические государства, в которых начинали развиваться товарные отношения, во многом напоминали Европу эпохи начала развития капитализма. Именно близость эпохи Возрождения в Европе и классического периода древней Греции привела Н.А.Морозова к его идее о том, что вся цивилизация древней Греции была создана в эпоху Возрождения.

Что такое социализм, я убедился на собственном опыте жизни в Советском Союзе, наглядно показавшем, что действительность этого строя не имеет ничего общего с тем, что предполагались построить. Хотели построить бесклассовое общество, а получился государственный капитализм с новым правящим классом - "номенклатурой". Суть "номенклатуры" особенно наглядно проявилась, когда после ликвидации советского социализма номенклатурные чиновники превратили государственною собственность, бывшую в их распоряжении, в свою частную собственность, и стали капиталистами.

Что же касается коммунизма, то, по всей вероятности, попытки реализовать идеи коммунизма могут привести только к "казарменному коммунизму" или к коммунизму, описанному Войновичем в его романе "Москва 2042".