Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим

28

См., например, Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982, с. 75–93.

29

Книга А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина «Теория колебаний» была опубликована в 1937 г. (без упоминания об авторстве А. А. Витта), второе издание в 1959 г., третье — в 1981 г.

30

Тогда мы ещё не знали, что грядёт 1937 год. Я описываю события так, как я и мои товарищи воспринимали происходящее тогда — в 1936 году. Позже я понял, что Советскому правительству нужно было разогнать школу русского математика Н. Н. Лузина. Уничтожить его самого они не решились. (Прим. Л. С. Понтрягина.)

31

Точное название статьи «О врагах в советской маске» («Правда», 3.7.1936). За день до этого была опубликована статья «Ответ академику Лузину» («Правда», 2.7.1936); далее — статья «Традиции раболепия» («Правда», 9.7.1936). Публикациями этих статей было положено начало «делу Лузина».

В настоящий момент готовится публикация книги «Дело академика Лузина. Сборник материалов». [«Дело академика Николая Николаевича Лузина» (СПб.: РХГИ, 1999. — 312 с.) — E.G.A.]

32

Воспоминания о «Лузитании» см. в книге «Колмогоров в воспоминаниях» (М.: Физматлит, 1993) и цитированных выше воспоминаниях П. С. Александрова. См. также воспоминания Л. А. Люстерника «Молодость московской математической школы» (УМН, 1967, т. 22, №№ 1, 2, 4 и т. 25 № 4).

33

Отчет об этом заседании был опубликован в журнале «Фронт науки и техники» за 1936 г.

34

См. работу «Гомотопическая классификация отображений (n+2)-мерной сферы в n-мерную. Опубликовано в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

35

Книга «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» была опубликована в 1955 г. (М.: изд-во АН СССР), второе издание в 1976 г., третье — в 1985 г. Опубликована также в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988.

36

См. работу 1942 г. «О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций» и добавление к ней, написанное в 1953 г. Опубликовано в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

37

См. работу «Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой». Опубликовано в кн.: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

После этой основополагающей работы теория самосопряжённых операторов в пространстве с индефинитной метрикой получила развитие в работах Крейна, Лангера и др. (см. монографию: Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. — М.: Наука, 1986). Эта теория находит самые разнообразные применения в дифференциальных уравнениях, теории колебаний и волноводов, оптимальном управлении и др.

38

Книга «Основы комбинаторной топологии» была издана в 1947 г., второе издание в 1976 г., третье — в 1986 г.; переведена на ряд иностранных языков.

39

Результаты Рохлина по топологии подробно обсуждаются в книге «В поисках утраченной топологии» (М.: Мир, 1989). Там же приведена библиография работ В. А. Рохлина.

40

Основные работы Л. С. Понтрягина о теории дифференциальных уравнений с малым параметром приведены в книге: Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988.

41

О работах Л. С. Понтрягина в области дифференциальных игр см. работу: Никольский С. М. О работе Понтрягина в области линейных дифференциальных игр преследования. — В кн.: Никольский С. М. Первый прямой метод Понтрягина в дифференциальных играх. — М.: МГУ, 1984.

42

Принцип максимума Понтрягина получил широчайшее применение в технике. В качестве примера, приведём здесь справку, выданную ЦАГИ Л. С. Понтрягину.

Применение принципа максимума и теории дифференциальных игр в современной механике полёта

Принцип максимума и теория дифференциальных игр Л. С. Понтрягина нашли широкое и важное применение в следующих работах, проведённых в ЦАГИ.

1. Исследование и выбор оптимальных траекторий, оптимальных параметров и разработка методов оптимизации характеристик летательных аппаратов (ЛА) различного назначения:

⚫ оптимальное пространственное выведение;

⚫ оптимальное выведение на орбиту искусственных спутников Земли, Луны и планет;

⚫ оптимальное маневрирование ЛА, в том числе их стыковка;

⚫ стабилизация и оптимальное управление ориентацией ЛА;

⚫ оптимальные межпланетные перелёты, в том числе с двигателями малой тяги.

2. Решение задач динамики полёта и управления входом в атмосферу:

⚫ исследование возможности полёта ЛА со скоростями входа, превышающими вторую космическую (обеспечение коридора входа, выдерживание ограничений по перегрузке, тепловым и температурным режимам);

⚫ оптимальное выведение на орбиту искусственного спутника планеты (в том числе Марса) с использованием аэродинамического торможения в атмосфере;

⚫ оптимальное управление боковой дальностью

⚫ построение зон достижимости и оптимальное пространственное движение в заданную точку земной поверхности.

3. Исследование оптимальных траекторий и оптимальных режимов полёта самолёта:

⚫ построение оптимальных траекторий и режимов набора высоты, в том числе для рекордных полётов по высоте и скороподъёмности;

⚫ исследование оптимальных пространственных траекторий высокоманёвренных самолётов;

⚫ исследование оптимальных взлётно-посадочных режимов, в том числе с минимизацией шума, создаваемого самолётом на местности.

4. Разработка методов исследования игровых задач механики полёта самолётов:

⚫ игровые задачи преследования–уклонения;

⚫ задачи управления в условиях неполной информации;

⚫ задачи идентификации и наблюдения в механике полёта на основе минимаксных критериев точности.

Кроме того, идеи принципа максимума проникли в ряд нетрадиционных областей управления и стимулировали развитие следующих научно-технических направлений: